Нормальное распределение

[Sicker]

Верно ли, что нормальное распределение это единственное распределение, у которого максимум вероятности (правдоподобия) среднего значения (и дисперсии) для $n$ выборок $X_n$ совпадает со средним $X$ (и его дисперсией)?
У меня получилось, что да, вот хочу уточнить)

[Otta]

Sicker в сообщении #1326983 писал(а):

У меня получилось, что да, вот хочу уточнить)

Пожалуйста, напишите, что и как у Вас получилось, заодно станет ясно, кто все эти люди о чем вообще речь.

[Sicker]

Otta в сообщении #1326989 писал(а):

Пожалуйста, напишите, что и как у Вас получилось, заодно станет ясно, кто все эти люди о чем вообще речь.

Я имею ввиду вот что. Пусть у нас есть нормальное распределение с неизвестным матожиданием и дисперсией. Известны результаты случайных выборок этого распределения ${X_n}$. Требуется найти наиболее вероятное матожидание и дисперсию неизвестного распределения.
В предположении о равномерном распределении матожидания и дисперсии, применяя теорему Байеса можно получить, что матожидание неизвестного распределения равно среднему известной выборки, и также соответственно равны дисперсии.
Это еще получается из принципа максимального правдоподобия (он же наверно как раз и выводится из предположения равномерности распределения матожидания и дисперсии?)
Так вот, я утверждаю, что нормальное распределение это единственное распределение, у которого наиболее вероятное значение матожидания равно среднему известной выборки ${X_n}$. И да, множество неизвестных распределений в этой задача это просто сдвиги по оси абцисс, без изменения вида этого распределения.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1327774 писал(а):

В предположении о равномерном распределении матожидания и дисперсии, применяя теорему Байеса можно получить, что матожидание неизвестного распределения равно среднему известной выборки, и также соответственно равны дисперсии.

Равномерно распределено на каком множестве?
В любом случае нельзя, т.к. с ненулевой вероятностью выборочное среднее промажет мимо этого множества (если вероятность ненулевой дисперсии ненулевая).

Sicker в сообщении #1327774 писал(а):

он же наверно как раз и выводится из предположения равномерности распределения матожидания и дисперсии?

Он ни из чего не выводится, он всего лишь выдает оценки, при которых наименее "удивительно" получить наш результат.

Sicker в сообщении #1327774 писал(а):

у которого наиболее вероятное значение матожидания равно среднему известной выборки ${X_n}$

Определитесь, речь про наиболее вероятное (для этого требуется априорное распределение среднего, и не для всех приоров это утверждение выполнено), или про оценку методом наибольшего правдоподобия?

Sicker в сообщении #1327774 писал(а):

множество неизвестных распределений в этой задача это просто сдвиги по оси абцисс, без изменения вида этого распределения

Если есть семейство распределений $\mathcal{F}_\theta(x) = \mathcal{F}_0(x - \theta)$ с дифференцируемой плотностью, такое что ОМП мат. ожидания единственна и совпадает с выборочным мат. ожиданием, то да, это семейство нормальных распределений (с одинаковой дисперсией). Если не требовать единственности, то так не будет - скажем для семейства равномерных распределений на отрезках длины $1$ (при желании сгладив концы чем-то быстро убывающим, чтобы была дифференцируемость) правдоподобие всех мат. ожиданий из $[x_{(1)}, x_{(n)}]$ будет одинаковым.
(можно ли не требовать дифференцируемости функции плотности - не знаю)

Кстати, оценка максимального правдоподобия дисперсии нормального распределения является смещенной - при фиксированной дисперсии мат. ожидание ОМП дисперсии меньше дисперсии.

[dsge]

mihaild в сообщении #1327935 писал(а):

Равномерно распределено на каком множестве?

В байесовской статистике существуют, так называемые, improper uninformative priors, они, как бы «раномерно» распределены на действительной прямой. Возможно, ТС их имеет ввиду.