Задача по общей топологии. Четвертая аксиома отделимости.

[ivankrut856]

Добрый день.

Столкнулся недавно с задачей и застопорился в ее решении. Помогите решить, пожалуйста.

Есть пространство удовлетворяющее аксиоме $T_4$. Доказать, что для любых замкнутых $F_1, F_2, F_3$ таких, что $F_1 \cap F_2 \cap F_3 = \varnothing $, существуют три их окрестности ($U_i $ окрестность $F_i$) такие, что $U_1 \cap U_2 \cap U_3 = \varnothing$.

Замечу, что попарно множества могут пересекаться, как и искомые окрестности.

Это похоже на какое-то обобщение определения $T_4$, но никак в голову не лезет доказательство.

Что касается "содержательных попыток собственного решения": я пытался брать окрестности $F_1$ и $F_2 \cap F_3$, и сказать, что взяв такие окрестности для трёх подобных разбиений и как-то пообъединять их, то получится искомые. Но это не привело ни к чему.
Также здесь очевиден случай метрических пространств, где всегда можно взять достаточно маленький радиус "кисточки" и просто обвести множества (aka сумма Минковского, aka $\varepsilon$-окрестности множеств)

[grizzly]

Попробую исправить прошлую свою ошибку следующим советом.

Цитата:

я пытался брать окрестности $F_1$ и $F_2 \cap F_3$

Что если брать симметрично: все попарные пересечения? Получим 3 множества, каждые 2 из которых не пересекаются. Выпишем их непересекающиеся окрестности. Вычтем объединение последних трёх от каждого из исходных множеств; останутся замкнутые непересекающиеся, у которых есть свои окрестности. Теперь, если как-то сконфигурировать объединением те и другие окрестности, это может помочь?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ivankrut856]

Цитата:

Вычтем объединение последних трёх от каждого из исходных множеств; останутся замкнутые непересекающиеся

Сначала хотел написать, что при вычитании непонятно что получается, но в итоге понял, что вычитать открытое из замкнутого даст замкнутое. Поэтому, кажется, это достаточно хороший совет. Я подумаю ещё над этим, но скорее всего тут уже есть решение, осталось осмыслить. Спасибо.