2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 12:35 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Тут решил проверить уравнения для статической звезды - политропы численным методом , но не получилось.

Систему уравнений обезразмеренную без релятивистских поправок взял отсюда:

http://www.astronet.ru/db/msg/1252779/42.html

Уравнения (4.34)

$$\frac{dp}{dx}=-\frac{{\sigma}q}{2x^2} \quad(1)$$
$$\frac{dq}{dr}=4{\pi}r^2{\sigma}\quad(2)$$
$$p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma} \quad(3)$$

$p(x)$ - аналог давления, $\sigma(x)$ - аналог плотности , $q(x)$ - масса от $0$ до $x$. $x$- аналог координаты $r$.

Краевые условия такие на границе звезды $x=1$ :

$q=1, p=0$

В нуле меня пока они не волнуют. Я интегрирую методом Рунге-Кутта от $x=1$ до нуля с отрицательным шагом.
Буру стандартную политропу $\gamma=5/3$
$$p=\frac{0.424{\sigma}^{5/3}}{(4\pi)^{2/3}}$$

Коды для пакета Максима:

g:x^2*sigma;
f:-q*sigma/x^2
res: rk([g,f],[q,p],[1,0],[x,1,0,-1/n])

Получаю тривиальный результат: $p=0 , q=1$
Если беру давление на границы малое ненулевое, то профиль вырисовывается, но
каждый раз разный в зависимости от давления. Да и в нуле $x=0$ получаю особенность.
Но тогда непонятно, если ли вообще решение с такими граничными условиями , когда
у звезды есть резкая граница. В Астронете и в пособии Иванова В.В. "Физика звезд" говорится, что
решение системы имеется.

Пока чисто математически не могу понять, что не так.
Если вместо уравнения (3) взять просто любое распределение плотности, то Рунге-Кутт
работает и дает теоретически правильный результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 13:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326669 писал(а):
Систему уравнений обезразмеренную без релятивистских поправок взял отсюда:
Странно Вы их как-то взяли - с неправильными коэффициентами (и ведь у Каплана и Дибая эта система записана, оставалось только переписать)...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.07.2018, 13:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Астрономия»
Причина переноса: тематика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:21 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Pphantom в сообщении #1326679 писал(а):
Странно Вы их как-то взяли - с неправильными коэффициентами (и ведь у Каплана и Дибая эта система записана, оставалось только переписать)...

Почему неправильно? И кто такие Каплан с Дибаем, я не знаю.
У Иванова вроде те же уравнения. (стр. 157)
http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/I ... fstars.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:26 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326683 писал(а):
Почему неправильно?
Потому что не совпадает с правильным. :-)
schekn в сообщении #1326683 писал(а):
И кто такие Каплан с Дибаем, я не знаю.
Авторы книги, с цитирования которой Вы начали.

Собственно, Вы же даже ссылку дали на "уравнения (4.34)". Неужели трудно посмотреть на них внимательно и убедиться, что записали Вы что-то не то?
schekn в сообщении #1326683 писал(а):
У Иванова вроде те же уравнения.
Да, те же, что и у Каплана и Дибая, но не те же, что у Вас (см. систему 1.6 в главе про политропы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:30 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Переписал (правы), у меня $r$ фигурирует от старых вычислений, заменил на $x$.

$$\frac{dp}{dx}=-\frac{{\sigma}q}{x^2} \quad(1)$$
$$\frac{dq}{dx}=x^2{\sigma}\quad(2)$$
$$p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma} \quad(3)$$

Но результат у меня тот же, просто в программе везде $r$ фигурирует. То есть система с теми граничными условиями не решается (кроме как тривиальным образом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326685 писал(а):
Но результат у меня тот же, просто в программе везде $r$ фигурирует. То есть система с теми граничными условиями не решается (кроме как тривиальным образом).
:facepalm: Еще раз: сравните записанные Вами уравнения с теми, которые приведены в обоих источниках. Посимвольно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:44 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Исправил. Убрал 2 в знаменателе ..
Но в программе было все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:50 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326690 писал(а):
Исправил. Убрал 2 в знаменателе..
Ура.

Теперь следующий шаг. Вы решаете краевую задачу, не так ли? А если так: можно ли ее решить методом Рунге-Кутты без дополнительных ухищрений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 14:54 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Pphantom в сообщении #1326692 писал(а):
schekn в сообщении #1326690 писал(а):
Исправил. Убрал 2 в знаменателе..
Ура.

Теперь следующий шаг. Вы решаете краевую задачу, не так ли? А если так: можно ли ее решить методом Рунге-Кутты без дополнительных ухищрений?

Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 15:01 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326693 писал(а):
Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.
М-да. :facepalm:

Ладно. В чем состоит разница между задачей Коши и краевой задачей, Вы знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 15:08 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Pphantom в сообщении #1326695 писал(а):
schekn в сообщении #1326693 писал(а):
Не знаю. Раньше не имел дело с этим методом, но задача с постоянной плотностью звезды с релятивистскими поправками, как у Оппенгеймера-Волкова, решается методом РК и у меня все отлично совпало с теорией. А вот , когда задаешь уравнение состояния, не получается.
М-да. :facepalm:

Ладно. В чем состоит разница между задачей Коши и краевой задачей, Вы знаете?

Задача Коши - я задаю данные функции в точке (если уравнение второго порядка то еще и производную в той же точке. Данную систему можно перевести в уравнение 2-го порядка). Краевые условия - данные на границах отрезка.
В данном конкретном случае я не знаю условия в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 15:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326697 писал(а):
В данном конкретном случае я не знаю условия в нуле.
Правда? Вы не знаете, что $q(0)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 15:26 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
Pphantom в сообщении #1326700 писал(а):
Правда? Вы не знаете, что $q(0)=0$?

Скажем так, для простого случая, который я выписал из учебника, это так. Для уравнений с поправками ОТО я точно не знаю.
А как вы предполагаете решать такую систему ?
Или как она решается обычно теоретиками?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 16:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
schekn в сообщении #1326707 писал(а):
Скажем так, для простого случая, который я выписал из учебника, это так. Для уравнений с поправками ОТО я точно не знаю.
Во-первых, это в любом случае так (просто в силу смысла функции $q(x)$. Во-вторых, забудьте о поправках ОТО, при таких проблемах до них еще очень далеко.
schekn в сообщении #1326707 писал(а):
А как вы предполагаете решать такую систему ?
Или как она решается обычно теоретиками?
Это, как мы уже выяснили, краевая задача. Ваши идеи?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group