2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 19:51 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Pphantom в сообщении #1326716 писал(а):
Это, как мы уже выяснили, краевая задача. Ваши идеи?

У меня проблема пока чисто математическая и вы не отвечаете пока на мой простой вопрос, и условие в $x=0$ мне пока не нужно. Я поэтому и задавал его в мат. разделе.
Я нашел в пакете Maxima в хэлпе точно такую же систему уравнений , которую выписал, и решалась она именно методом Рунге-Кутта.
Далее просто подставил две функции и граничное условие на правой границе $x=1$ для функций $q, p$. Все замечательно решалось и графики строились. Программа не требовала у меня граничное условие в нуле, его просто некуда подставить. В нуле что получалось, то получалось.
Например можно от балды взять $\sigma=(1-x^2)$ вместо условия (3), и система решалась. Потом, если решение нефизическое , мы его отбросим.
Можно взять на той же границе $q(1)=1, p(1)=0.001$ , и система также численно интегрировалась для политропы $\gamma=5/3$

Почему именно в таких условиях $q(1)=1, p(1)=0$ у меня ничего не получилось, я не понимаю. В этом был вопрос.

Вы предлагаете зафиксировать функции $q$ и $p$ на границах $0,1$.
Это несколько другая задача и как ее решать численно я пока не знаю, просто не нашел готового алгоритма в Мат Пакете.
Если знаете, то подскажите, но это не та задача, которую я ставил изначально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 21:26 
Заслуженный участник


20/08/14
5568
Россия, Москва
Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе газовых сред вообще физично? Это же не твёрдое тело с нулевой плотностью над поверхностью. Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0. Может быть взять 0.001 или какую-нибудь функцию (экспоненциальную?) падения давления над поверхностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 21:35 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1326755 писал(а):
Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе сред вообще физично? Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0.

Хороший вопрос, но это значит такое условие на границе звезды для политропы невозможно. Это значит надо менять модель в том числе и Белого Карлика, который должен иметь атмосферу.
Но я также рассматривал и $p=0.00001$.
И получал совершенно другой профиль. Впрочем в статьях почему-то говорится, что такая задача (изначально поставленная) решается.
Если рассматривать не политропу, а просто плотность $\sigma= \operatorname{const}$ то вполне решаемая задача .

Я бы попросил Pphantom забыть вообще о физической задаче и решать чисто математическую систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 22:22 
Заслуженный участник


20/08/14
5568
Россия, Москва
Всё же не очень понятно корректна ли такая постановка задачи, даже чисто математически. У меня впечатление что это какое-то приближение, как геометрическая оптика лишь приближение реальных процессов (или как ширину главного лепестка антенны определяют вовсе не по строгому нулю интенсивности). И надо посмотреть на те статьи, что там по этому поводу говорят, может там тоже есть какие-то упрощения или допуски или методы (типа принудительно занулять скорости атомов над поверхностью), что и даст якобы нулевое давление.
Т.е. где-то чего-то не хватает. Уж простите за банальность. Больше мне добавить нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение14.07.2018, 22:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16856
Кронштадт
schekn в сообщении #1326744 писал(а):
У меня проблема пока чисто математическая и вы не отвечаете пока на мой простой вопрос, и условие в $x=0$ мне пока не нужно. Я поэтому и задавал его в мат. разделе.
Ну что ж, если Вам нужна только причина происходящего и совершенно не интересует, как эту проблему решить... давайте займемся причиной. :-)

Итак, Вы решаете систему вида (я избавлюсь от безразмерной плотности, так будет виднее происходящее):
\begin{cases}
   \frac{dp}{dx} & = -\frac{A p^\alpha q}{x^2} \\
   \frac{dq}{dx} & = A p^\alpha x^2 \\
 \end{cases}
где $A$ и $\alpha$ - положительные константы. При этом известно, что $p(1)=0$, $q(1)=1$.

Подставим известные нам значения в точке $x=1$ в уравнения. Видим, что $\left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=1}=0$ и $\left.\frac{dq}{dx}\right|_{x=1}=0$. Как Вы думаете, к чему приведет попытка построить решение в сторону $x<1$?

-- 14.07.2018, 22:37 --

Dmitriy40 в сообщении #1326755 писал(а):
Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе газовых сред вообще физично? Это же не твёрдое тело с нулевой плотностью над поверхностью. Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0. Может быть взять 0.001 или какую-нибудь функцию (экспоненциальную?) падения давления над поверхностью?
Да нет, в этом смысле все чисто. Просто при желании решать чисто математическую задачу Коши надо бы честно проверять условия единственности такого решения. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение04.08.2018, 11:04 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Pphantom в сообщении #1326775 писал(а):
Ну что ж, если Вам нужна только причина происходящего и совершенно не интересует, как эту проблему решить... давайте займемся причиной.

Я тут слегка приболел и не стал заглядывать в тему. А хотелось бы довести задачу до какого-нибудь решения.
Pphantom в сообщении #1326775 писал(а):
Как Вы думаете, к чему приведет попытка построить решение в сторону $x<1$?

Это я понял еще до того, как создал тему, то есть получается тривиальное решение, когда плотность и давление строго нули. Но это значит , что Dmitriy40 прав и у Иванова и на форуме astronet , такая задача с избыточным краевым условием $p(1)=0$ ставится не совсем корректно. Поэтому ваши фейспалмы вообще говоря не по адресу.
Я почитал немного про краевые задачи такого типа.
Если фиксировать на $q(0)=0 , q(1)=1$, что для ньютоновских звезд вполне разумно, то решается задача сначала как Коши для условий справа (в конкретном случае), а давление выступает как параметр $p(1)=\eta$ . Он вначале выбирается произвольно, а затем методом Стрельбы гоняется таким образом , чтобы удовлетворить условию на другом конце : $q(0)=0$.
Тогда надо писать программку. Вроде есть образец.

-- 04.08.2018, 11:23 --

Приведу два довода , почему именно для Звезды мне кажется предпочтительнее решать задачу Коши, а не краевую.

Во-первых, скорее всего она имеет сложную структуру и фиксации одного параметра состояния $\gamma$ не обойтись.
Скажем в интервале $x: (0,x_0)$ одно состояние с $\gamma_1$, а в $x: (x_0,1)$ может быть совсем другое и даже не политропа.
Тогда проще решать именно задачу Коши методом Рунге-Кутта на правом интервале при $q(1)=1 , p(1)=0$, при некотором разумной распределении $\sigma(x)$ , тогда $q(x_0)$ какая получится. А далее уже решать краевую в интервале $(0,x_0)$.

А второй довод, когда мы перейдем к поправкам ОТО, то в этом случае $q(1)$ это по смыслу полная масса звезды , включая гравитационное поле, то есть масса, которая входит в решение Шварцшильда. Но это не исключает того, что может быть $q(0)<0$.
Об этом пишут Оппенгеймер и Волков , но они эту возможность отбросили, когда зафиксировали политропу. В общем случае такой случай нельзя отбрасывать. Поэтому фиксировать левый край у меня нет оснований. К тому же появились статьи в последние годы по этой теме. Я пока не хочу вступать в дискуссию по данному вопросу. Мне надо поверить одну статью и сконструировать чисто математический объект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение04.08.2018, 12:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16856
Кронштадт
schekn в сообщении #1330511 писал(а):
Это я понял еще до того, как создал тему, то есть получается тривиальное решение, когда плотность и давление строго нули. Но это значит , что Dmitriy40 прав и у Иванова и на форуме astronet , такая задача с избыточным краевым условием $p(1)=0$ ставится не совсем корректно. Поэтому ваши фейспалмы вообще говоря не по адресу.
Строго по адресу. Нигде ни у Иванова, ни у Каплана и Дибая не написано, что это задача Коши, это Ваше собственное сочинение. Более того, в силу уже обсуждавшихся выше причин это условие избыточным не является.

Ну и последующее... если Вы и дальше будете относиться к задаче как к чисто математической, фейспалмов будет еще много. Наверное, все же стоит почитать что-нибудь про численное моделирование звезд, чтобы не разгуливать по всем граблям, которые люди нашли в этой задаче за последние 60 лет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение04.08.2018, 12:09 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Pphantom в сообщении #1330519 писал(а):
Наверное, все же стоит почитать что-нибудь про численное моделирование звезд, чтобы не разгуливать по всем граблям, которые люди нашли в этой задаче за последние 60 лет.

Я не нашел. И помощи пока не вижу. Идеи , как свести к краевой , я уже привел, других идей нет.
Задача вроде не выглядит уж очень сложной .

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение04.08.2018, 12:32 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
16856
Кронштадт
schekn в сообщении #1330520 писал(а):
Я не нашел. И помощи пока не вижу. Идеи , как свести к краевой , я уже привел, других идей нет.
Задача вроде не выглядит уж очень сложной .
А Вы поищите, это бывает полезно. Можете стартовать, например, с метода Хеньи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение16.08.2018, 19:24 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Несколько напоминает квест, но тем не менее. Про метод Хеньи нашел только то, что он разбивает шар на $N$ сфер и видимо на каждой находит приближенное решение.

Например, можно попробовать так.
Избавимся от давления, подставим его в (1): $p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma}$
Получим:

$$-x^2{\gamma}K_{\gamma}\sigma^{\gamma-2}\frac{d{\sigma}}{dx}=q \quad(4)$$
$$\frac{1}{x^2}\frac{dq}{dx}=\sigma \quad(5)$$
при краевых условиях $q(0)=0, q(1)=1$.

Разобьем интервал [0,1] на $N$ частей.
Тогда это сводится к такой системе уравнений :

$$-x_{i}^2{\gamma}K_{\gamma}\sigma_i^{\gamma-2}(\frac{\sigma_{i+1}-\sigma_i}{h})=q_i \quad(6)$$
$$\frac{1}{x_i^2}\frac{q_{i+1}-q_i}{h}=\sigma_i  \quad(7)$$
$$q_1=0, \quad q_N=1$$
$$h=x_{i+1}-x_i$$

Что делать дальше, непонятно. Можно попытаться взять нулевой приближение для $q_i$ например тем же методом Рунге-Кутта.
Подставить в (7) и найти $\sigma_i$, затем полученное $\sigma_i$ подставить в (6) и найти следующее приближение для $q_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение24.08.2018, 11:56 
Аватара пользователя


10/12/11
1731
Москва
Все таки непонятно, правильны ли мои рассуждения и как надо решать такую задачу? Неужели нет пособия на этот счет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решения задачи статической звезды.
Сообщение24.08.2018, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68355
По краевым задачам матфизики?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, Jnrty, whiterussian, Парджеттер, Pphantom, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group