Численное решения задачи статической звезды.

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326716 писал(а):

Это, как мы уже выяснили, краевая задача. Ваши идеи?

У меня проблема пока чисто математическая и вы не отвечаете пока на мой простой вопрос, и условие в $x=0$ мне пока не нужно. Я поэтому и задавал его в мат. разделе.
Я нашел в пакете Maxima в хэлпе точно такую же систему уравнений , которую выписал, и решалась она именно методом Рунге-Кутта.
Далее просто подставил две функции и граничное условие на правой границе $x=1$ для функций $q, p$. Все замечательно решалось и графики строились. Программа не требовала у меня граничное условие в нуле, его просто некуда подставить. В нуле что получалось, то получалось.
Например можно от балды взять $\sigma=(1-x^2)$ вместо условия (3), и система решалась. Потом, если решение нефизическое , мы его отбросим.
Можно взять на той же границе $q(1)=1, p(1)=0.001$ , и система также численно интегрировалась для политропы $\gamma=5/3$

Почему именно в таких условиях $q(1)=1, p(1)=0$ у меня ничего не получилось, я не понимаю. В этом был вопрос.

Вы предлагаете зафиксировать функции $q$ и $p$ на границах $0,1$.
Это несколько другая задача и как ее решать численно я пока не знаю, просто не нашел готового алгоритма в Мат Пакете.
Если знаете, то подскажите, но это не та задача, которую я ставил изначально.

[Dmitriy40]

Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе газовых сред вообще физично? Это же не твёрдое тело с нулевой плотностью над поверхностью. Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0. Может быть взять 0.001 или какую-нибудь функцию (экспоненциальную?) падения давления над поверхностью?

[schekn]

Dmitriy40 в сообщении #1326755 писал(а):

Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе сред вообще физично? Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0.

Хороший вопрос, но это значит такое условие на границе звезды для политропы невозможно. Это значит надо менять модель в том числе и Белого Карлика, который должен иметь атмосферу.
Но я также рассматривал и $p=0.00001$.
И получал совершенно другой профиль. Впрочем в статьях почему-то говорится, что такая задача (изначально поставленная) решается.
Если рассматривать не политропу, а просто плотность $\sigma= \operatorname{const}$ то вполне решаемая задача .

Я бы попросил Pphantom забыть вообще о физической задаче и решать чисто математическую систему.

[Dmitriy40]

Всё же не очень понятно корректна ли такая постановка задачи, даже чисто математически. У меня впечатление что это какое-то приближение, как геометрическая оптика лишь приближение реальных процессов (или как ширину главного лепестка антенны определяют вовсе не по строгому нулю интенсивности). И надо посмотреть на те статьи, что там по этому поводу говорят, может там тоже есть какие-то упрощения или допуски или методы (типа принудительно занулять скорости атомов над поверхностью), что и даст якобы нулевое давление.
Т.е. где-то чего-то не хватает. Уж простите за банальность. Больше мне добавить нечего.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1326744 писал(а):

У меня проблема пока чисто математическая и вы не отвечаете пока на мой простой вопрос, и условие в $x=0$ мне пока не нужно. Я поэтому и задавал его в мат. разделе.

Ну что ж, если Вам нужна только причина происходящего и совершенно не интересует, как эту проблему решить... давайте займемся причиной.

Итак, Вы решаете систему вида (я избавлюсь от безразмерной плотности, так будет виднее происходящее):
\begin{cases} \frac{dp}{dx} & = -\frac{A p^\alpha q}{x^2} \\ \frac{dq}{dx} & = A p^\alpha x^2 \\ \end{cases}
где $A$ и $\alpha$ - положительные константы. При этом известно, что $p(1)=0$, $q(1)=1$.

Подставим известные нам значения в точке $x=1$ в уравнения. Видим, что $\left.\frac{dp}{dx}\right|_{x=1}=0$ и $\left.\frac{dq}{dx}\right|_{x=1}=0$. Как Вы думаете, к чему приведет попытка построить решение в сторону $x<1$?

-- 14.07.2018, 22:37 --

Dmitriy40 в сообщении #1326755 писал(а):

Простите за дилетантство, а строго нулевое давление на границе газовых сред вообще физично? Это же не твёрдое тело с нулевой плотностью над поверхностью. Может вы решаете заведомо неразрешимую задачу? Вопрос навеян разницей решения между 0.001 и 0. Может быть взять 0.001 или какую-нибудь функцию (экспоненциальную?) падения давления над поверхностью?

Да нет, в этом смысле все чисто. Просто при желании решать чисто математическую задачу Коши надо бы честно проверять условия единственности такого решения.

[schekn]

Pphantom в сообщении #1326775 писал(а):

Ну что ж, если Вам нужна только причина происходящего и совершенно не интересует, как эту проблему решить... давайте займемся причиной.

Я тут слегка приболел и не стал заглядывать в тему. А хотелось бы довести задачу до какого-нибудь решения.

Pphantom в сообщении #1326775 писал(а):

Как Вы думаете, к чему приведет попытка построить решение в сторону $x<1$?

Это я понял еще до того, как создал тему, то есть получается тривиальное решение, когда плотность и давление строго нули. Но это значит , что Dmitriy40 прав и у Иванова и на форуме astronet , такая задача с избыточным краевым условием $p(1)=0$ ставится не совсем корректно. Поэтому ваши фейспалмы вообще говоря не по адресу.
Я почитал немного про краевые задачи такого типа.
Если фиксировать на $q(0)=0 , q(1)=1$, что для ньютоновских звезд вполне разумно, то решается задача сначала как Коши для условий справа (в конкретном случае), а давление выступает как параметр $p(1)=\eta$ . Он вначале выбирается произвольно, а затем методом Стрельбы гоняется таким образом , чтобы удовлетворить условию на другом конце : $q(0)=0$.
Тогда надо писать программку. Вроде есть образец.

-- 04.08.2018, 11:23 --

Приведу два довода , почему именно для Звезды мне кажется предпочтительнее решать задачу Коши, а не краевую.

Во-первых, скорее всего она имеет сложную структуру и фиксации одного параметра состояния $\gamma$ не обойтись.
Скажем в интервале $x: (0,x_0)$ одно состояние с $\gamma_1$, а в $x: (x_0,1)$ может быть совсем другое и даже не политропа.
Тогда проще решать именно задачу Коши методом Рунге-Кутта на правом интервале при $q(1)=1 , p(1)=0$, при некотором разумной распределении $\sigma(x)$ , тогда $q(x_0)$ какая получится. А далее уже решать краевую в интервале $(0,x_0)$.

А второй довод, когда мы перейдем к поправкам ОТО, то в этом случае $q(1)$ это по смыслу полная масса звезды , включая гравитационное поле, то есть масса, которая входит в решение Шварцшильда. Но это не исключает того, что может быть $q(0)<0$.
Об этом пишут Оппенгеймер и Волков , но они эту возможность отбросили, когда зафиксировали политропу. В общем случае такой случай нельзя отбрасывать. Поэтому фиксировать левый край у меня нет оснований. К тому же появились статьи в последние годы по этой теме. Я пока не хочу вступать в дискуссию по данному вопросу. Мне надо поверить одну статью и сконструировать чисто математический объект.

[Pphantom]

schekn в сообщении #1330511 писал(а):

Это я понял еще до того, как создал тему, то есть получается тривиальное решение, когда плотность и давление строго нули. Но это значит , что Dmitriy40 прав и у Иванова и на форуме astronet , такая задача с избыточным краевым условием $p(1)=0$ ставится не совсем корректно. Поэтому ваши фейспалмы вообще говоря не по адресу.

Строго по адресу. Нигде ни у Иванова, ни у Каплана и Дибая не написано, что это задача Коши, это Ваше собственное сочинение. Более того, в силу уже обсуждавшихся выше причин это условие избыточным не является.

Ну и последующее... если Вы и дальше будете относиться к задаче как к чисто математической, фейспалмов будет еще много. Наверное, все же стоит почитать что-нибудь про численное моделирование звезд, чтобы не разгуливать по всем граблям, которые люди нашли в этой задаче за последние 60 лет.

[schekn]

Pphantom в сообщении #1330519 писал(а):

Наверное, все же стоит почитать что-нибудь про численное моделирование звезд, чтобы не разгуливать по всем граблям, которые люди нашли в этой задаче за последние 60 лет.

Я не нашел. И помощи пока не вижу. Идеи , как свести к краевой , я уже привел, других идей нет.
Задача вроде не выглядит уж очень сложной .

[Pphantom]

schekn в сообщении #1330520 писал(а):

Я не нашел. И помощи пока не вижу. Идеи , как свести к краевой , я уже привел, других идей нет.
Задача вроде не выглядит уж очень сложной .

А Вы поищите, это бывает полезно. Можете стартовать, например, с метода Хеньи.

[schekn]

Несколько напоминает квест, но тем не менее. Про метод Хеньи нашел только то, что он разбивает шар на $N$ сфер и видимо на каждой находит приближенное решение.

Например, можно попробовать так.
Избавимся от давления, подставим его в (1): $p=K_{\gamma}{\sigma}^{\gamma}$
Получим:

$$-x^2{\gamma}K_{\gamma}\sigma^{\gamma-2}\frac{d{\sigma}}{dx}=q \quad(4)$$

$$\frac{1}{x^2}\frac{dq}{dx}=\sigma \quad(5)$$

при краевых условиях $q(0)=0, q(1)=1$.

Разобьем интервал [0,1] на $N$ частей.
Тогда это сводится к такой системе уравнений :

$$-x_{i}^2{\gamma}K_{\gamma}\sigma_i^{\gamma-2}(\frac{\sigma_{i+1}-\sigma_i}{h})=q_i \quad(6)$$

$$\frac{1}{x_i^2}\frac{q_{i+1}-q_i}{h}=\sigma_i \quad(7)$$

$$q_1=0, \quad q_N=1$$

$$h=x_{i+1}-x_i$$

Что делать дальше, непонятно. Можно попытаться взять нулевой приближение для $q_i$ например тем же методом Рунге-Кутта.
Подставить в (7) и найти $\sigma_i$, затем полученное $\sigma_i$ подставить в (6) и найти следующее приближение для $q_i$.

[schekn]

Все таки непонятно, правильны ли мои рассуждения и как надо решать такую задачу? Неужели нет пособия на этот счет?

[Munin]

По краевым задачам матфизики?