2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 19:47 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
Здравствуйте. Есть задача, с которой долго мучился, поэтому сомневаюсь, что мое решение самое короткое:
показать, что свертка двух эрмитовых (или антиэрмитовых) тензоров есть действительное число.
Т.е. нужно рассмотреть свертку $T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}$, где $\hat{T}$ и $\hat{P}$ -- эрмитовы или антиэрмитовы тензоры. Пусть для начала они будут эрмитовы, тогда, как я понял, нужно показать что $(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}$, ведь именно это является условием вещественности числа.

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T^*_{\beta\alpha}P^*_{\beta\alpha}=(T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha})^*$

тупик. Другая попытка:

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}$

$(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}$

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}-(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}-T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}=T_{\alpha\beta}P^*_{\beta\alpha}-T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}$

что без индексов выглядит является разностью следов: $(\hat{T}\hat{P}^*)_t-(\hat{P}\hat{T}^*)_t$. А теперь c учетом свойства следа, которое заключается в том, что след не меняется при транспонировании, получаем

$(\hat{P}\hat{T}^*)_t=(\hat{T}\hat{P}^*)_t$

а это значит, что та разность следов равна нулю и что искомая свертка суть действительное число. Для антиэрмитовых точно так же можно поступить. Можно ли быстрее решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 20:23 
Заслуженный участник


14/10/14
599
fronnya в сообщении #1326303 писал(а):
тупик
Не тупик.

-- 12.07.2018, 21:26 --

fronnya в сообщении #1326303 писал(а):
$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}$
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 20:30 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
Slav-27 в сообщении #1326310 писал(а):
Почему?

это опечатка, должно быть $T_{\alpha\beta}P^*_{\beta\alpha}$. Дальше там этой опечатки нет.

-- 12.07.2018, 19:31 --

Slav-27 в сообщении #1326310 писал(а):
Не тупик.

а как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3353
ФТИ им. Иоффе СПб
fronnya в сообщении #1326311 писал(а):
а как?
А что у нас со следом эрмитовой матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 20:57 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
amon в сообщении #1326320 писал(а):
А что у нас со следом эрмитовой матрицы?

он не меняется при эрмитовом сопряжении. так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3353
ФТИ им. Иоффе СПб
fronnya в сообщении #1326321 писал(а):
он не меняется
А с комплексностью что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 21:06 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
amon в сообщении #1326322 писал(а):
А с комплексностью что?

Вещественный. Тааак, все эти факты я должен сложить воедино и получится короткое решение. Loading...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3353
ФТИ им. Иоффе СПб
fronnya в сообщении #1326323 писал(а):
Тааак, все эти факты я должен сложить воедино и получится короткое решение.
Еще надо кое-что про след вспомнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 21:18 
Заслуженный участник


14/10/14
599
fronnya в сообщении #1326311 писал(а):
а как?

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha}=T_{\mu\nu}P_{\mu\nu}...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 21:23 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
Slav-27 в сообщении #1326329 писал(а):
fronnya в сообщении #1326311 писал(а):
а как?

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha}=T_{\mu\nu}P_{\mu\nu}...$

Погодите, как это вообще работает? Я, конечно, знаю, что индексы, по которым идет суммирование, можно обозначать как угодно, но вы переставили у одного тензора два индекса местами, т.е. транспонировали, тогда никакого равенства не должно быть. Ведь тензоры эрмитовы, а не симметричные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23402
Уфа
Всё законно, смотрите: переименовываем сначала $\alpha$ в $\gamma$, потом $\beta$ в $\alpha$, потом $\gamma$ в $\beta$, в результате мы поменяли индексы местами. Вот если бы у одного тензора поменяли, а у другого бы не трогали…

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение12.07.2018, 23:20 
Аватара пользователя


27/03/14
1086
arseniiv в сообщении #1326339 писал(а):
Всё законно

убедили, но это значит, что здесь
fronnya в сообщении #1326303 писал(а):
$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T^*_{\beta\alpha}P^*_{\beta\alpha}=(T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha})^*$


в правой крайней и в левой крайней частях индексы должны переобозначаться одновременно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по тензорной алгебре
Сообщение13.07.2018, 08:03 
Заслуженный участник


14/10/14
599
По индексу $\alpha$ в крайней левой части равенства проводится свёртка, и поэтому он не имеет никакого отношения к индексу $\alpha$ в крайней правой части равенства.

Если непонятно, расписывайте все суммы полностью, без буквенных индексов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group