Задача по тензорной алгебре

[fronnya]

Здравствуйте. Есть задача, с которой долго мучился, поэтому сомневаюсь, что мое решение самое короткое:
показать, что свертка двух эрмитовых (или антиэрмитовых) тензоров есть действительное число.
Т.е. нужно рассмотреть свертку $T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}$, где $\hat{T}$ и $\hat{P}$ -- эрмитовы или антиэрмитовы тензоры. Пусть для начала они будут эрмитовы, тогда, как я понял, нужно показать что $(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}$, ведь именно это является условием вещественности числа.

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T^*_{\beta\alpha}P^*_{\beta\alpha}=(T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha})^*$

тупик. Другая попытка:

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}$

$(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}$

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}-(T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta})^*=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}-T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}=T_{\alpha\beta}P^*_{\beta\alpha}-T^*_{\alpha\beta}P_{\beta\alpha}$

что без индексов выглядит является разностью следов: $(\hat{T}\hat{P}^*)_t-(\hat{P}\hat{T}^*)_t$. А теперь c учетом свойства следа, которое заключается в том, что след не меняется при транспонировании, получаем

$(\hat{P}\hat{T}^*)_t=(\hat{T}\hat{P}^*)_t$

а это значит, что та разность следов равна нулю и что искомая свертка суть действительное число. Для антиэрмитовых точно так же можно поступить. Можно ли быстрее решить?

[Slav-27]

fronnya в сообщении #1326303 писал(а):

тупик

Не тупик.

-- 12.07.2018, 21:26 --

fronnya в сообщении #1326303 писал(а):

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\alpha\beta}P^*_{\alpha\beta}$

Почему?

[fronnya]

Slav-27 в сообщении #1326310 писал(а):

Почему?

это опечатка, должно быть $T_{\alpha\beta}P^*_{\beta\alpha}$. Дальше там этой опечатки нет.

-- 12.07.2018, 19:31 --

Slav-27 в сообщении #1326310 писал(а):

Не тупик.

а как?

[amon]

fronnya в сообщении #1326311 писал(а):

а как?

А что у нас со следом эрмитовой матрицы?

[fronnya]

amon в сообщении #1326320 писал(а):

А что у нас со следом эрмитовой матрицы?

он не меняется при эрмитовом сопряжении. так?

[amon]

fronnya в сообщении #1326321 писал(а):

он не меняется

А с комплексностью что?

[fronnya]

amon в сообщении #1326322 писал(а):

А с комплексностью что?

Вещественный. Тааак, все эти факты я должен сложить воедино и получится короткое решение. Loading...

[amon]

fronnya в сообщении #1326323 писал(а):

Тааак, все эти факты я должен сложить воедино и получится короткое решение.

Еще надо кое-что про след вспомнить.

[Slav-27]

fronnya в сообщении #1326311 писал(а):

а как?

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha}=T_{\mu\nu}P_{\mu\nu}...$

[fronnya]

Slav-27 в сообщении #1326329 писал(а):

fronnya в сообщении #1326311 писал(а):

а как?

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha}=T_{\mu\nu}P_{\mu\nu}...$

Погодите, как это вообще работает? Я, конечно, знаю, что индексы, по которым идет суммирование, можно обозначать как угодно, но вы переставили у одного тензора два индекса местами, т.е. транспонировали, тогда никакого равенства не должно быть. Ведь тензоры эрмитовы, а не симметричные.

[arseniiv]

Всё законно, смотрите: переименовываем сначала $\alpha$ в $\gamma$, потом $\beta$ в $\alpha$, потом $\gamma$ в $\beta$, в результате мы поменяли индексы местами. Вот если бы у одного тензора поменяли, а у другого бы не трогали…

[fronnya]

arseniiv в сообщении #1326339 писал(а):

Всё законно

убедили, но это значит, что здесь

fronnya в сообщении #1326303 писал(а):

$T_{\alpha\beta}P_{\alpha\beta}=T^*_{\beta\alpha}P^*_{\beta\alpha}=(T_{\beta\alpha}P_{\beta\alpha})^*$

в правой крайней и в левой крайней частях индексы должны переобозначаться одновременно?

[Slav-27]

По индексу $\alpha$ в крайней левой части равенства проводится свёртка, и поэтому он не имеет никакого отношения к индексу $\alpha$ в крайней правой части равенства.

Если непонятно, расписывайте все суммы полностью, без буквенных индексов.