Два летящих шарика на пружине

[MakVlad]

EUgeneUS в сообщении #1326158 писал(а):

Предлагаю Вам начать с конца:
выразить кинетическую энергию "переднего шарика" через отношение масс и энергию, запасенную в пружине в случае нулевых начальных скоростей.

$$K_2' = \frac{W}{1 + \frac{m_2}{m_1}}$$

[DimaM]

MakVlad
Замечу, что вычислять отношения масс, импульсы и т.п. в данном случае необязательно.
Достаточно понять, что пружина в обоих случаях увеличивает скорость переднего шарика на одну и ту же величину.

[MakVlad]

DimaM
Да, это понятно, просто хочется решить задачу строго. Просто мне пока это сразу не очевидно

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1326170 писал(а):

Да, это понятно, просто хочется решить задачу строго. Просто мне пока это сразу не очевидно

Если в первом случае перейти в систему центра масс - очевидно.

[MakVlad]

DimaM в сообщении #1326171 писал(а):

Если в первом случае перейти в систему центра масс - очевидно.

Да, действительно...

[EUgeneUS]

MakVlad

Хорошо. Можно переписать так: $K_2' (1 + \frac{m_2}{m_1}) = W$

Теперь во втором случае, когда начальная скорость не нулевая, найдите $W$.
Надо будет избавиться от лишних переменных и привести к такому виду:

$W = \Delta K_2 $ (умножить на что-то зависящее от $\alpha$ и, возможно, от отношения масс)

Тогда можно будет посчитать отношение $\frac{K_2'}{\Delta K_2}$, что и будет ответом.

[MakVlad]

EUgeneUS
Я выразил, но получается какой-то принеприятный крокодил

$$W = K_2(\alpha + 1 + \frac{m_2}{m_1}(\alpha + 1 +\sqrt{\alpha + 1}))$$

Я сейчас ещё-раз пересчитаю. Не исключены ошибки

[EUgeneUS]

MakVlad
Где-то ошибки.

После подстановки числового значения $\alpha$ у меня получилось
$W = K_2(1+\frac{m_2}{m_1})\beta$, где $\beta$ - некий числовой коэффициент.
В результате выражения с отношением масс сократятся.

-- 12.07.2018, 13:46 --

MakVlad в сообщении #1326185 писал(а):

принеприятный крокодил

Зато $\alpha$ чудесное. В результате вот такой крокодил: $\sqrt{\alpha+1} - 1$, это всего лишь $0.1$, например.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1326187 писал(а):

Зато $\alpha$ чудесное. В результате вот такой крокодил: $\sqrt{\alpha+1} - 1$, это всего лишь $0.1$, например.

Там просто ошибка.
Если аккуратно посчитать, получается квадратный крокодил снаружи от скобки.

[MakVlad]

DimaM
Я понимаю, что ответ должен получится примерно такой : $K_2' = K_2 (\sqrt{\alpha + 1} - 1)^2$
Но у меня упорно получается:

$$W = K_2(\frac{m_2}{m_1}(1- \sqrt{\alpha + 1})^2 + 1 + \alpha - \sqrt{\alpha + 1})$$

Ни как не могу понять, где делаю ошибку. Может, я делаю её в самом начале?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &W = \frac{m_1}{2}(u_2^2 - u_1^2) + \alpha K_2& \\ &u_2 = u_1 + \frac{m_2}{m_1}(v_1 - v_2)& \\ &v_2^2 = v_1^2(1+\alpha)& \\ &u_1 = v_1& \end{array} \right.$$

-- 12.07.2018, 15:22 --

DimaM
Всё, на нашёл ошибку. В одном месте забыл двойку.
Ответ такой:

$$K_2' = K_2 (1-\sqrt{1+\alpha})^2$$

Спасибо за помощь

[DimaM]

MakVlad в сообщении #1326227 писал(а):

Ни как не могу понять, где делаю ошибку. Может, я делаю её в самом начале?

В самом начале все правильно (хотя и несколько путано, два обозначения для одной величины избыточны).
Похоже, теряете двойку в процессе вычислений. У меня последние три слагаемых в скобке выглядят как $2+\alpha-2\sqrt{\alpha+1}$.

-- 12.07.2018, 19:23 --

MakVlad в сообщении #1326227 писал(а):

Ответ такой

Отлично!