2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативность произвольного кольца
Сообщение10.07.2018, 16:13 


03/07/18
4
Установить коммутативность произвольного кольца, в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^{3}=x$

Исходя из равенства $(x+x)^{3}=(x+x)$ я установил, что у кольца характеристика может быть либо 2 либо 3 либо 6.
Похожую задачу с условием $x^{2}=x$ я решил, основываясь на уравнениях $(x+y)^{2}=x+y$ и $(x+x)^{2}=x+x$, но как быть с кубом не пойму.

Получается что $6x=0$
и $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$
куда дальше двигаться не пойму

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение14.07.2018, 01:38 


14/11/08
52
Москва
Во-первых, $(x+x^2)^3=(x+x^2)\Rightarrow 3x^2=3x\Rightarrow 3(x+y)^2=3(x+y)\Rightarrow 3xy=3yx$ (два раза используем тождество $6x=0$).

Далее смотрим на тождество $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$. Подставляем $-y$ вместо $y$ и складываем полученное тождество с предыдущим. Имеем
$$2(xy^2+yxy+y^2x)=0.\leqno{(1)}$$
Умножаем $(1)$ на $y^2$ справа, получаем $$2(xy^2+yxy+y^2xy^2)=0.\leqno{(2)}$$
Приравниваем левые части $(1)$ и $(2)$, сокращаем и получаем $$2y^2x=2y^2xy^2.\leqno{(3)}$$
Теперь умножаем $(1)$ на $y^2$ слева и аналогичным образом получаем $$2xy^2=2y^2xy^2.\leqno{(4)}$$
Далее, подставляем в $(1)$ $y^2$ вместо $y$, получаем
$$2(xy^2+y^2xy^2+y^2x)=0.\leqno{(5)}$$ Приравниваем левые части $(1)$ и $(5)$, получаем $$2yxy=2y^2xy^2.\leqno{(6)}$$
Из $(3)$, $(4)$ и $(6)$ имеем $$2xy^2=2y^2x=2yxy.\leqno{(7)}$$
Применяем все это добро: $$2xy^2=2yxy\Rightarrow 2xy=2yxy^2=2y^3x=2yx.\leqno{(8)}$$ Таким образом, $$2xy=2yx.\leqno{(9)}$$
Теперь вычитаем последнее тождество из ранее полученного $3xy=3yx$. Ура.


С удовольствием посмотрел бы на более короткое решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 02:26 
Аватара пользователя


04/10/15
241
Ясно, что нет ненулевых нильпотентов, стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре. Но возводя выражение $x^2+x$ в квадрат и в куб, можно выразить элементы $2x$ и $3x$ через квадраты, стало быть они тоже лежат в центре, а значит и их разность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 12:13 


14/11/08
52
Москва
iou в сообщении #1326980 писал(а):
...стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре.

Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 22:09 
Аватара пользователя


04/10/15
241
Nik_Nikols в сообщении #1327032 писал(а):
Поясните, пожалуйста.

Элементы вида $x^2$ являются идемпотентами, тогда легко видеть, что $\forall y ~ ~ (y x^2 - x^2 y x^2)^2 = (x^2 y - x^2 y x^2)^2 = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение17.07.2018, 14:45 


14/11/08
52
Москва
Да, так несколько поучительнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group