Коммутативность произвольного кольца

[error404]

Установить коммутативность произвольного кольца, в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^{3}=x$

Исходя из равенства $(x+x)^{3}=(x+x)$ я установил, что у кольца характеристика может быть либо 2 либо 3 либо 6.
Похожую задачу с условием $x^{2}=x$ я решил, основываясь на уравнениях $(x+y)^{2}=x+y$ и $(x+x)^{2}=x+x$, но как быть с кубом не пойму.

Получается что $6x=0$
и $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$
куда дальше двигаться не пойму

[Nik_Nikols]

Во-первых, $(x+x^2)^3=(x+x^2)\Rightarrow 3x^2=3x\Rightarrow 3(x+y)^2=3(x+y)\Rightarrow 3xy=3yx$ (два раза используем тождество $6x=0$).

Далее смотрим на тождество $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$. Подставляем $-y$ вместо $y$ и складываем полученное тождество с предыдущим. Имеем

$$2(xy^2+yxy+y^2x)=0.\leqno{(1)}$$

Умножаем $(1)$ на $y^2$ справа, получаем

$$2(xy^2+yxy+y^2xy^2)=0.\leqno{(2)}$$

Приравниваем левые части $(1)$ и $(2)$, сокращаем и получаем

$$2y^2x=2y^2xy^2.\leqno{(3)}$$

Теперь умножаем $(1)$ на $y^2$ слева и аналогичным образом получаем

$$2xy^2=2y^2xy^2.\leqno{(4)}$$

Далее, подставляем в $(1)$ $y^2$ вместо $y$, получаем

$$2(xy^2+y^2xy^2+y^2x)=0.\leqno{(5)}$$

Приравниваем левые части $(1)$ и $(5)$, получаем

$$2yxy=2y^2xy^2.\leqno{(6)}$$

Из $(3)$, $(4)$ и $(6)$ имеем

$$2xy^2=2y^2x=2yxy.\leqno{(7)}$$

Применяем все это добро:

$$2xy^2=2yxy\Rightarrow 2xy=2yxy^2=2y^3x=2yx.\leqno{(8)}$$

Таким образом,

$$2xy=2yx.\leqno{(9)}$$

Теперь вычитаем последнее тождество из ранее полученного $3xy=3yx$. Ура.


С удовольствием посмотрел бы на более короткое решение...

[iou]

Ясно, что нет ненулевых нильпотентов, стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре. Но возводя выражение $x^2+x$ в квадрат и в куб, можно выразить элементы $2x$ и $3x$ через квадраты, стало быть они тоже лежат в центре, а значит и их разность.

[Nik_Nikols]

iou в сообщении #1326980 писал(а):

...стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре.

Поясните, пожалуйста.

[iou]

Nik_Nikols в сообщении #1327032 писал(а):

Поясните, пожалуйста.

Элементы вида $x^2$ являются идемпотентами, тогда легко видеть, что $\forall y ~ ~ (y x^2 - x^2 y x^2)^2 = (x^2 y - x^2 y x^2)^2 = 0.$

[Nik_Nikols]

Да, так несколько поучительнее.