2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативность произвольного кольца
Сообщение10.07.2018, 16:13 


03/07/18
6
Установить коммутативность произвольного кольца, в котором каждый элемент $x$ удовлетворяет уравнению $x^{3}=x$

Исходя из равенства $(x+x)^{3}=(x+x)$ я установил, что у кольца характеристика может быть либо 2 либо 3 либо 6.
Похожую задачу с условием $x^{2}=x$ я решил, основываясь на уравнениях $(x+y)^{2}=x+y$ и $(x+x)^{2}=x+x$, но как быть с кубом не пойму.

Получается что $6x=0$
и $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$
куда дальше двигаться не пойму

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение14.07.2018, 01:38 


14/11/08
73
Москва
Во-первых, $(x+x^2)^3=(x+x^2)\Rightarrow 3x^2=3x\Rightarrow 3(x+y)^2=3(x+y)\Rightarrow 3xy=3yx$ (два раза используем тождество $6x=0$).

Далее смотрим на тождество $xyy+yxy+yyx+xxy+xyx+yxx=0$. Подставляем $-y$ вместо $y$ и складываем полученное тождество с предыдущим. Имеем
$$2(xy^2+yxy+y^2x)=0.\leqno{(1)}$$
Умножаем $(1)$ на $y^2$ справа, получаем $$2(xy^2+yxy+y^2xy^2)=0.\leqno{(2)}$$
Приравниваем левые части $(1)$ и $(2)$, сокращаем и получаем $$2y^2x=2y^2xy^2.\leqno{(3)}$$
Теперь умножаем $(1)$ на $y^2$ слева и аналогичным образом получаем $$2xy^2=2y^2xy^2.\leqno{(4)}$$
Далее, подставляем в $(1)$ $y^2$ вместо $y$, получаем
$$2(xy^2+y^2xy^2+y^2x)=0.\leqno{(5)}$$ Приравниваем левые части $(1)$ и $(5)$, получаем $$2yxy=2y^2xy^2.\leqno{(6)}$$
Из $(3)$, $(4)$ и $(6)$ имеем $$2xy^2=2y^2x=2yxy.\leqno{(7)}$$
Применяем все это добро: $$2xy^2=2yxy\Rightarrow 2xy=2yxy^2=2y^3x=2yx.\leqno{(8)}$$ Таким образом, $$2xy=2yx.\leqno{(9)}$$
Теперь вычитаем последнее тождество из ранее полученного $3xy=3yx$. Ура.


С удовольствием посмотрел бы на более короткое решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 02:26 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Ясно, что нет ненулевых нильпотентов, стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре. Но возводя выражение $x^2+x$ в квадрат и в куб, можно выразить элементы $2x$ и $3x$ через квадраты, стало быть они тоже лежат в центре, а значит и их разность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 12:13 


14/11/08
73
Москва
iou в сообщении #1326980 писал(а):
...стало быть элементы вида $x^2$ лежат в центре.

Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение16.07.2018, 22:09 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Nik_Nikols в сообщении #1327032 писал(а):
Поясните, пожалуйста.

Элементы вида $x^2$ являются идемпотентами, тогда легко видеть, что $\forall y ~ ~ (y x^2 - x^2 y x^2)^2 = (x^2 y - x^2 y x^2)^2 = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность произвольного кольца
Сообщение17.07.2018, 14:45 


14/11/08
73
Москва
Да, так несколько поучительнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group