Тема степень с рациональным показателем. Объясните логику?

[oleg_parhimchic]

Списал в решебнике задачу. Народ, растолкуйте, пожалуйста логику в этом уравнении. Стоит задача упростить выражение. Казалось бы куда проще.
$\sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{5+2*\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}})^2}+2*\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+(\sqrt{\frac{3}{2}})^2=\sqrt{(\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}})^2}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Откуда в уравнении взялось "2*$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}$". 21 ясно, оно в уравнении есть. А вот $\sqrt{4}$ и 2 откуда ? Как и после второго равно взялось четыре дроби, хотя изначально давалось два числа.

[Someone]

Вообще-то, $\frac 2{\sqrt{4}}=1$. И $\frac{10}2=5$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

Не понимаю, чем полученный ответ проще изначального? Три корня вместо двух, да еще деление.. Может быть, не стОило к общему знаменателю приводить?

[gris]

Можно встать на позицию составителя задач. Берём простое выражение $2+\sqrt3$ и усложняем его. Например, возводим в квадрат и извлекаем корень: $\sqrt{(2+\sqrt3)^2}$. Раскрываем скобки и приводим подобные. $\sqrt{4+2\cdot 2\cdot \sqrt 3+3}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+\sqrt{48}}$. Последнее подаём ученику. Он должен догадаться, что сделал преподаватель, и сделать то же самое в обратном порядке. Логика кубика Рубика.

[Someone]

thething в сообщении #1325163 писал(а):

Три корня вместо двух, да еще деление.

От корня в знаменателе можно избавиться. Но, конечно, вопрос о том, какое выражение "проще", является несколько неформальным.

[Евгений Машеров]

thething в сообщении #1325163 писал(а):

Не понимаю, чем полученный ответ проще изначального? Три корня вместо двух, да еще деление.. Может быть, не стОило к общему знаменателю приводить?

Я бы предположил, что постановка задачи пришла из незапамятных времён, когда не было калькуляторов. И память была натренирована больше, значения корней целых чисел помнились (собственно, даже было такое упражнение на укрепление памяти). И тогда отказ от извлечения корня из многозначного дробного числа был экономией сил. Сейчас, конечно, смысл не просматривается, кроме как упражнения, "гимнастики ума".

-- 08 июл 2018, 18:16 --

oleg_parhimchic в сообщении #1325151 писал(а):

Откуда в уравнении взялось "2*$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}$". 21 ясно, оно в уравнении есть. А вот $\sqrt{4}$ и 2 откуда ? Как и после второго равно взялось четыре дроби, хотя изначально давалось два числа.

Приём, который бывает полезен в такого рода задачах на упрощение, когда нечто под корнем и желательно из-под корня вытащить, состоит в том, что ежели под корнем полный квадрат $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, то корень исчезнет, аннигилировавшись с двойкой в показателе. Однако у нас не три слагаемых, а два, поэтому надо одно отнести к $2ab$, а второе разбить на два квадрата. Одно из двух слагаемых под корнем целое, второе иррациональное, корень из чего-то, и очевидно, что этот самый корень не может быть квадратом, он $2ab$, а целое надо разбить на два слагаемых, $a^2$ и $b^2$.
Поэтому домножаем корень на два и делим на два, чтобы не изменилось значение. И тут начинаем играть с вариантами. $ab=\frac {\sqrt{21}} 2$ Может, a=21, b=1, или a=3, b=7 (поскольку задача учебная, то мы вправе надеяться, что некрасивых многозначных чисел не будет), или ещё как. Не забывая о двойке в знаменателе, которую надо куда-то приткнуть, к a или b. Проверяем тем, что $a^2+b^2$ должно быть равно целому слагаемому. С какой-то попытки получаем подходящие а и бэ и, наконец, "упрощаем".

[Someone]

В конце концов, можно "извлечь корень" $\sqrt{a+b\sqrt{c}}=x+y\sqrt{c}$ в общем виде, запомнить формулу и больше не ломать голову над такими задачами…

[Munin]

$\begin{cases} x^2+y^2c=a \\ 2xy=b \end{cases}$
$\begin{cases} (x+y\sqrt{c})^2=a+b\sqrt{c} \\ (x-y\sqrt{c})^2=a-b\sqrt{c} \end{cases}$
необходимо $a-b\sqrt{c}\geqslant 0$
$\begin{cases} x+y\sqrt{c}=\sqrt{a+b\sqrt{c}} \\ |x-y\sqrt{c}|=\sqrt{a-b\sqrt{c}} \end{cases}$
$x,y\sqrt{c}=\dfrac{\sqrt{a+b\sqrt{c}}\pm\!\sqrt{a-b\sqrt{c}}}{2}$
Ну и чем это должно помочь, непонятно? Если считать в уме, то всё равно придётся подбирать по-прежнему. А если на калькуляторе, то каковы шансы получить точный ответ, и чего делать с неточным?

[B@R5uk]

На эту тему мне вспоминается случай, где решение кубического уравнения, полученное по формуле Кардано, и перебором целых чисел, отличаются как небо и земля (в случае перебора — одна цифра, а по формуле — крокодил с кубическими и квадратными корнями). Причём, единственный способ догадаться об упрощении крокодила — это посчитать его на калькуляторе. А единственный способ строго доказать — это восстановить вид уравнения по крокодилу и подобрать решение перебором целых чисел.

[provincialka]

$$y=\frac{b}{2x}, x^2+\frac{b^2c}{4x^2}=a$$

$$t=x^2, t^2-at+\frac{b^2c}{4}=0$$

$$x^2=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^2c}}{2}$$

$$y=\frac{b}{2x}$$

Для $x^2$ получается два решения, но окончательный ответ они дают один и тот же.

[Munin]

Да, эти формулы более осмысленные, если корень из $a^2-b^2c$ берётся. Спасибо!

-- 09.07.2018 11:19:56 --

Интересно, что при $c=1$ формулы provincialka продолжают давать однозначный ответ :-)
Интересно, в чём его смысл?..

[novichok2018]

Раньше это называлось формула сложного радикала.

[Munin]

Спасибо!

[deep blue]

B@R5uk Может приведете пример крокодила? Вдруг форум сможет упростить без перебора корней и репутация формулы Кардано будет восстановлена.