Тема степень с рациональным показателем. Объясните логику?

[B@R5uk]

deep blue в сообщении #1325460 писал(а):

B@R5uk Может приведете пример крокодила?

Это было давно и не правда. Поэтому я не помню. Единственное что я бы мог — это попробовать заново придумать это уравнение, но с тем же успехом это вы можете сделать и сами. Единственное моё сомнение: есть ли в выражении комплексные числа.

deep blue в сообщении #1325460 писал(а):

...репутация формулы Кардано будет восстановлена.

Нет пути! Я тогда этой проблемой весьма настойчиво мучал лектора по матану, он с самого начала сказал, что решения нет, и до конца так и не раскололся. Самостоятельные попытки тоже ни к чему не привели, если мне память не изменяет.

[B@R5uk]

Что-то типа такого у меня на скорую руку получилось:

$$1=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$$

[deep blue]

Все подобные равенства можно доказать выделением полного куба под корнями $2\pm\sqrt{5}=(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2})^3$
Вообще они имеют вид

$$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}=\sqrt[3]{{a+\sqrt{{\left(\frac{a+c^3}{3c}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}+\sqrt[3]{{a-\sqrt{{\left({\frac{a+c^3}{3c}}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}=c$$

Так что к уравнению сводить не обязательно. Но отгадывания единицы в правой части наверное не избежать.

[B@R5uk]

deep blue в сообщении #1325543 писал(а):

Все подобные равенства можно доказать выделением полного куба под корнями

Вот это с одной стороны интересная, а с другой — до гениальности простая идея. Спасибо.

[novichok2018]

можно обозначить разность кубических корней буквой, возвести в куб по правильной формуле, решить кубическое уравнение с целым корнем. Сканави.

[venco]

novichok2018 в сообщении #1325546 писал(а):

можно обозначить разность кубических корней буквой, возвести в куб по правильной формуле, решить кубическое уравнение с целым корнем. Сканави.

... и получить то же самое выражение.
Без подбора не обойтись.

[Mikhail_K]

Подниму давнюю тему.
Есть ли где-нибудь доказательство того, что равенства вроде

B@R5uk в сообщении #1325513 писал(а):

$$1=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$$

невозможно получить безо всякого подбора, чисто алгебраическими преобразованиями?

Вот что я имею в виду. Чтобы доказать это равенство, обозначим $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$ (тем самым, нам нужно доказать, что $x=1$) и возведём в куб:

$$ x^3=2+\sqrt{5}-3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2}\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\sqrt[3]{(-2+\sqrt{5})^2}+2-\sqrt{5}= $$

$$ =4-3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}\right)=4-3\cdot\sqrt[3]{1}\cdot x=4-3x. $$

Получили кубическое уравнение $x^3=4-3x$.
Но если применить для его решения формулу Кардано (которая выводится именно с помощью алгебраических преобразований), то получим корень $x$ опять в исходной форме $x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$, а не в требуемой форме $x=1$.
Единственный выход - решить кубическое уравнение "по-школьному", подбором делителей свободного члена.
Доказано ли, что этот выход единственный?

Сказанное вот здесь

deep blue в сообщении #1325543 писал(а):

Все подобные равенства можно доказать выделением полного куба под корнями $2\pm\sqrt{5}=(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2})^3$
Вообще они имеют вид

$$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}=\sqrt[3]{{a+\sqrt{{\left(\frac{a+c^3}{3c}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}+\sqrt[3]{{a-\sqrt{{\left({\frac{a+c^3}{3c}}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}=c$$

Так что к уравнению сводить не обязательно. Но отгадывания единицы в правой части наверное не избежать.

я не очень понял. Как здесь догадались, что $2\pm\sqrt{5}=\left(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3$? Можно попытаться подобрать $a$ и $b$ такие, чтобы $2\pm\sqrt{5}=(a+b\sqrt{5})^3$, но, как я понимаю, здесь тоже не обойтись без угадывания и подбора.

Таких примеров можно привести много.
Вот как получается класс таких примеров.
1) Написать произвольное кубическое уравнение с целыми коэффициентами, имеющее единственный вещественный корень, являющийся к тому же целым (для получения приведённого выше примера надо взять как раз $x^3=4-3x$);
2) Решить его по формуле Кардано - скорее всего, получится громоздкое иррациональное выражение. Более подробно, если уравнение $x^3+px+q=0$, то формула Кардано даёт корень

$$ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}. $$

3) Вместе с тем, это выражение должно совпадать с единственным вещественным корнем, а он известен и цел. Но можно ли это доказать алгебраически?

[nnosipov]

Mikhail_K в сообщении #1525840 писал(а):

Единственный выход - решить кубическое уравнение "по-школьному", подбором делителей свободного члена.
Доказано ли, что этот выход единственный?

С чего бы этот выход был единственным? Нет, конечно. Выражение типа $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$ можно упростить (понизить уровень вложенности радикалов), используя соответствующий алгоритм (их имеется несколько). Вообще, это типичный пример для проблемы упрощения вложенных радикальных выражений. Если уровень вложенности $\leqslant 3$, то есть алгоритмы, понижающие уровень вложенности (или доказывающие, что этого сделать нельзя). Если уровень вложенности четыре и выше, то подобные алгоритмы, насколько мне известно, не найдены. Например, неизвестно, можно ли корень уравнения $x^4-x-1=0$ записать в виде радикального выражения с уровнем вложенности три или ниже (если решить уравнение методом Феррари, то для $x$ получится 4-ды вложенное радикальное выражение, довольно громоздкое).

-- Пн июл 12, 2021 20:40:11 --

Mikhail_K в сообщении #1525840 писал(а):

Но можно ли это доказать алгебраически?

Что сие значит? В тех алгоритмах упрощения вложенных радикальных выражений, о которых я писал выше, используется, в частности алгоритм Бухбергера для решения систем полиномиальных уравнений. Это алгебраически?

[Mikhail_K]

nnosipov в сообщении #1525895 писал(а):

Что сие значит? В тех алгоритмах упрощения вложенных радикальных выражений, о которых я писал выше, используется, в частности алгоритм Бухбергера для решения систем полиномиальных уравнений. Это алгебраически?

Где посоветуете почитать про эти алгоритмы?

(Понятно, что мой исходный вопрос неточный и, наверное, оставляет свободу для интерпретаций.)

[nnosipov]

Mikhail_K в сообщении #1525899 писал(а):

Где посоветуете почитать про эти алгоритмы?

У меня в сентябре будет доклад как раз на эту тему вот здесь http://www.casc-conference.org/index.html Proceedings CASC 2021 выйдет уже в августе, тогда смогу прислать свою статью, в которой я собрал более-менее все имеющиеся ссылки по проблеме упрощения вложенных вещественных радикальных выражений. Сейчас выписывать все оттуда я не могу по физическим соображениям.

[Mikhail_K]

nnosipov в сообщении #1525900 писал(а):

Proceedings CASC 2021 выйдет уже в августе, тогда смогу прислать свою статью, в которой я собрал более-менее все имеющиеся ссылки по проблеме упрощения вложенных вещественных радикальных выражений.

Спасибо, было бы интересно!