Формулы для интегрирования напряжений токов в цепи

[xakepp35]

Пытаюсь численно интегрировать значения напряжений и токов в цепи, которая пародирует модель некой нейросети.
Для этого нужно написать систему уравнений для неё. Цепь выглядит следующим образом:


Опишу свою задачу в текстовой форме. Это программа на языке С. Она хранит мнгновенные значения напряжений на конденсаторах и токов через катушки. И в бесконечном цикле должна численными методами интегрировать эти значения, для простоты методом эйлера. Чтобы получать значения через некоторый фиксированный промежуток времени, обычно называемый дельтой. Мне требуется понять, как пишутся формулы, вычисляющие приращения. Задачу придумал себе сам в целях самообразования.

Я понимаю как, зная текущие мнгновенные значения напряжения на конденсаторе и тока в катушке, в замкнутом контуре "конденсатор-катушка", составить формулу, вычисляющую приращения напряжения и тока через некоторый промежуток времени. Но моих знаний не хватает, чтобы составить подобные формулы для более комплексной цепи, изображенной выше. Привожу пример попытки решения задачи:

Используется синтаксис C

// программа-иллюстрация для форума dxdy.ru/post1323944.html
// прямой метод эйлера для вычисления тока и напряжения в контуре конденсатор-диод-катушка с внешним постоянным источником тока.
// автор: xakepp35
// дата: 02.07.2018

float IC = 1.0f; // внешний ток в конденсатор
float Cm = 1.0f; // ёмкость конд-ра
float gL = 0.1f; // проводимость утечки
float La = 1.0f; // индуктивность катушки
float VC = 1.0f; // начальное напряжение на конденсаторе
float IL = 0.0f; // начальный ток в катушке
float dt = 0.1f; // шаг интегратора
float gateVoltage = 2.0f; // напряжение открытия диода

                                           // функция вычисления приращения напряжения на конденсаторе
float dv() {
        return (IC -IL - VC*gL) / Cm;
}

// функция, как-то имитирующая проводимость диода (хочу лучше, не знаю как)
float gd() {
        return (float)((VC > gateVoltage) || (IL > 0));
}

// функция вычисления приращения тока в катушке
float di() {
        return (gd() * VC) / La;
}

#include <stdio.h>

int main() {
        for (;;) {
                // применяю прямой метод эйлера
                VC += dv() * dt;
                IL += di() * dt;
                printf("VC=%f, IL=%f\n", VC, IL);//std::cout << "VC=" << VC << "; IL=" << IL << "\n";
        }
        return 0;
}

Мои вопросы:

1. Как правильно моделировать диод?
   Правильно ли делаю я?
   Вижу, что есть статья на википедии,
   Но не понял что мне подставить в формулу интегрирования тока катушки.
   
   
2. Что нужно хранить, если можно хранить только что-то одно из двух?
   • Для каждого конденсатора список всех катушек, к которым он подключен?
   • Для каждой катушки список всех конденсаторов, к которым та подключена?
   
   
3. Как написать формулы численного моделирования, если рассмотреть тривиальные случаи, когда
   
   
   • В конденсатор втекает ток с двух катушек. Необходима формула для вычисления приращения напряжения на конденсаторе.
   • Катушка заряжает конденсаторы. Необходима формула для вычисления приращения тока на следующем шаге.

Выручайте!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Механика и Техника»

[Andrey_Kireew]

К примеру, для конденсатора:
$I=C\frac{dU}{dt}$,
заменяем дифференциалы конечными разностями
$I=C\frac{U_2-U_1}{\Delta}$, где $\Delta$ дискрет времени,
и получаем:
$U_2=\frac{I_1}{C}{\Delta}+U_1$,
для индуктивностей аналогично.

Это самый простой способ, в нём учитываются значения только одного предыдущего отсчёта $U_{k-1}; I_{k-1}$. Точность модели будет низкая.
Лучше, если Вы рассчитаете цифровой дифференциатор, учитывающий значения сразу нескольких предыдущих отсчётов $U_{k-1},U_{k-2},...U_{k-p};I_{k-1}, I_{k-2}, ... I_{k-p}$.

[realeugene]

xakepp35 в сообщении #1323944 писал(а):

Мне требуется понять, как пишутся формулы, вычисляющие приращения. Задачу придумал себе сам в целях самообразования.

Сначала записывается система дифференциальных уравнений. Потом эти дифференциальные уравнения аппроксимируются разностными уравнениями. Такая аппроксимация может быть различного порядка. Потом проверяют, что полученная разностная система устойчивая (разностная аппроксимация устойчивой электрической схемы может стать неустойчивой). Иногда этот шаг опускают и исследуют устойчивость схемы экспериментально. Потом уже решают эту разностную систему численно, подбирая по ходу шаг по времени в случае наличия сильных нелинейностей, вроде идеальных диодов.

Чтобы получилось хорошо, у вас есть два пути. Или прочитать учебники по вычислительной математике, в которых описаны все эти вопросы, или воспользоваться для моделирования своей схемы SPICE, в котором все эти вопросы решены и скрыты от конечного пользователя.

[xakepp35]

Andrey_Kireew в сообщении #1324075 писал(а):

К примеру, для конденсатора:
$I=C\frac{dU}{dt}$,
заменяем дифференциалы конечными разностями
$I=C\frac{U_2-U_1}{\Delta}$, где $\Delta$ дискрет времени,
и получаем:
$U_2=\frac{I_1}{C}{\Delta}+U_1$,
для индуктивностей аналогично.

Да. Именно эти формулы я и использовал. Только не понятно как их видоизменить, если входных и выходных ветвей цепи несколько. А в программе можно хранить либо список всех катушек к которым подключен конденсатор (как и делают в нейросетях), либо список всех конденсаторов к которых подключена катушка. В первом случае становится невозможно рассчитать ток катушки, во втором случае невозможно рассчитать входной ток в конденсатор.

Andrey_Kireew в сообщении #1324075 писал(а):

Это самый простой способ, в нём учитываются значения только одного предыдущего отсчёта $U_{k-1}; I_{k-1}$. Точность модели будет низкая.
Лучше, если Вы рассчитаете цифровой дифференциатор, учитывающий значения сразу нескольких предыдущих отсчётов $U_{k-1},U_{k-2},...U_{k-p};I_{k-1}, I_{k-2}, ... I_{k-p}$.

По поводу точности благодарю за замечание. Разумеется, есть всяческие схемы интегрирования верле без потерь энергии, и методы рунге-кутты высоких порядков. Данные вещи я знаю, но точность модели меня совсем не интересует.

realeugene в сообщении #1324142 писал(а):

Сначала записывается система дифференциальных уравнений. Потом эти дифференциальные уравнения аппроксимируются разностными уравнениями. Такая аппроксимация может быть различного порядка. Потом проверяют, что полученная разностная система устойчивая (разностная аппроксимация устойчивой электрической схемы может стать неустойчивой). Иногда этот шаг опускают и исследуют устойчивость схемы экспериментально. Потом уже решают эту разностную систему численно, подбирая по ходу шаг по времени в случае наличия сильных нелинейностей, вроде идеальных диодов.

Именно так я и сделал. Кроме исследования устойчивостей - точность и устойчивость модели пока за рамками рассмотрения.

realeugene в сообщении #1324142 писал(а):

Чтобы получилось хорошо, у вас есть два пути. Или прочитать учебники по вычислительной математике, в которых описаны все эти вопросы, или воспользоваться для моделирования своей схемы SPICE, в котором все эти вопросы решены и скрыты от конечного пользователя.

Читать очень долго и нудно, я практик. Мне, как правило, требуется перечитать раз по 5 чтобы что-то понять, а через пару дней без практики забыть. Этот вариант явно отпадает.
А про воспользоваться - в идеале я хочу написать что-то вроде такой среды для моделирования, просто в рамках хобби. Когда я напишу - тогда я пойму как оно работает и не забуду.

Вопросы в шапке остаются открытыми. про 1) диод - нужна просто формула, которая лучше моего метода. вопросы 2) и 3) очень близки. но вопрос 2 больше из области программирования, тогда как 3 реально надо бы посмотреть в учебниках, но таковых не имеется, гугл не спас т.к я не знаю даже как это называется. в законе ома нету ничего про разветвления и схождения цепи.

[EUgeneUS]

xakepp35
Законы\правила Кирхгофа Вам знакомы?

[Andrey_Kireew]

xakepp35
Я тут из интереса посмотрел, если выходные сопротивления Rsynapse одинаковые, то модель получается постенькая и изящная (выходные ёмкости могут быть разными и произвольными). У Вас всё же наоборот - ёмкости одинаковые а Rsynapse видимо разные. В этом случае модель получается весьма громоздкая. Это для Вас вообще принципиально?

В любом случае, первая половина Вашей нейросети моделируется просто:
$I_D=\sum \frac{U_{in}}{R_{in}}-(\frac{1}{R_{gLeak}}+\sum \frac{1}{R_{in}})U_A-C_{membrane}\frac{dU_A}{dt}$, где $U_A$ - напряжение на аноде диода, $R_{in}$ - входные сопротивления, $U_{in}$ - входные напряжения, $I_D$ - ток диода.

Второе уравнение, при условии равенства Rsynapse такое:
$-L\frac{d^2I_D}{dt^2}+(R_D(I_D)+\frac{R_{synapse}}{N})\frac{dI_D}{dt}+\frac{1}{N\cdot C_s}I_D=\frac{dU_A}{dt}$, где $R_D $ - дифференциальное сопротивление диода, $N$ - число выходных ветвей.

-- 03.07.2018, 18:10 --

Извиняюсь за ошибку, для получения простой системы должны быть равны не Rsynapse, а произведения $ Rsynapse \cdot C_i$, т.е. должны быть одинаковыми постоянные времени выходных цепей (второе уравнение исправлено).

[xakepp35]

EUgeneUS в сообщении #1324171 писал(а):

xakepp35
Законы\правила Кирхгофа Вам знакомы?

Нет. Нужно будет посмотреть.

Andrey_Kireew в сообщении #1324184 писал(а):

xakepp35
Я тут из интереса посмотрел, если выходные сопротивления Rsynapse одинаковые, то модель получается постенькая и изящная (выходные ёмкости могут быть разными и произвольными). У Вас всё же наоборот - ёмкости одинаковые а Rsynapse видимо разные. В этом случае модель получается весьма громоздкая. Это для Вас вообще принципиально?

Если брать за прототип нейрон реальный, то для одного типа нейронов следующие параметры будут примерно одинаковы:
- ёмкость мембраны (зависит от площади поверхности клетки, одинакова для одного типа)
- количество входов (допустим в районе 1000 для типового пирамидального нейрона)
- напряжение открытия диода (это вообще абстракция, в нейронах нет диодов, просто сигнал растространяется в одном направлении и есть примерно типовое значение порога срабатывания)
- выходная индуктивность (примерно одинаковые длины аксонов для одного типа нейронов идущие в одну и ту же область мозга)

А вот сопротивления, а точнее проводимости как раз таки и моделируют синапсы - там такое правило, что если нейрон стреляет (сразу) после следующего - то проводимость улучшается сильно (обратно пропорционально разнице во времени). А если сразу перед следующим - то проводимость ухудшается сильно. Если же интервал во времени срабатывания велик - то связь не изменяется. Чтобы заменить деления умножениями оперируют терминами проводимости и называется это правило обучения STDP. Их там есть много разновидностей, нужно хранить времена открывания диодов.. но до туда я даже не дошёл пока ещё.

В двух словах, да, в величине этих сопротивлений между разными конденсаторами и заключена вся суть и память модели.

Andrey_Kireew в сообщении #1324184 писал(а):

В любом случае, первая половина Вашей нейросети моделируется просто:
$I_D=\sum \frac{U_{in}}{R_{in}}-(\frac{1}{R_{gLeak}}+\sum \frac{1}{R_{in}})U_A-C_{membrane}\frac{dU_A}{dt}$, где $U_A$ - напряжение на аноде диода, $R_{in}$ - входные сопротивления, $U_{in}$ - входные напряжения, $I_D$ - ток диода.

Как-то примерно так и думал, что надо просто суммировать входные токи, которые находятся при помощи отношения $\frac{U_{in}}{R_{in}}$

Andrey_Kireew в сообщении #1324184 писал(а):

Второе уравнение, при условии равенства Rsynapse такое:
$-L\frac{d^2I_D}{dt^2}+(R_D(I_D)+\frac{R_{synapse}}{N})\frac{dI_D}{dt}+\frac{1}{N\cdot C_s}I_D=\frac{dU_A}{dt}$, где $R_D $ - дифференциальное сопротивление диода, $N$ - число выходных ветвей.

Пока что сложно, не понял половины. Что такое $d^2$ и как преобразовать это к приращению?
К тому же при равенстве $R_{synapse}$ модель полностью теряет свой смысл

[Andrey_Kireew]

$d^2$ это вторая производная. Вообще, информационную нагрузку в нейроне несут входные сопротивления $R_{in}$, поэтому я и допустил, что выходные $R_{synapse}$ могут быть равны. Такую модель будет просто решать, каждому нейрону здесь соответствует всего 2 уравнения.

Если $R_{synapse}$ разные, то на каждый выход нужно своё уравнение, и если N=1000, и нейрон к тому же не один, то Вы наверное представляете, во что это всё выливается.

Имейте в виду, система нелинейная, её так просто не решить. Тут придётся использовать метод итераций.

-- 04.07.2018, 02:29 --

В общем случае так (вместо второго уравнения):

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dI_i}{dt}+\frac{1}{R_iC_i}I_i=\frac{1}{R_i}\frac{dU_B}{dt} \\ .................... \\ I_D=\sum I_i \\ f(I_D)=U_A-U_B+L\frac{dI_D}{dt}\\ \end{array} \right.$$

где $f(\cdot)$ - это ВАХ диода, $I_i$ - токи в выходных ветвях, $U_B$ - напряжение на 2-м узле цепи (там всего 2 узла).
Первых уравнений столько, сколько выходных ветвей, тогда можно ставить разные $R_{synapse}$ и $C$.

[EUgeneUS]

xakepp35 в сообщении #1324250 писал(а):

Нет. Нужно будет посмотреть.

Посмотрите обязательно. И вообще, обратите внимание на рекомендации

realeugene в сообщении #1324142 писал(а):

Чтобы получилось хорошо, у вас есть два пути. Или прочитать учебники по вычислительной математике, в которых описаны все эти вопросы, или воспользоваться для моделирования своей схемы SPICE, в котором все эти вопросы решены и скрыты от конечного пользователя.

Теория, она ведь не чтобы загрузить читателя, а чтобы на практике меньше напрягаться.

В общем виде, задача решается так:
1. Для каждого элемента (двухполюсника) есть два неизвестных: ток через него $I_i$ и напряжение на нём (между выводами) $U_i$.
2. Для активных сопротивлений всё просто, закон Ома: $I_r=U_r/R_r$
3. Для реактивных сопротивлений (конденсаторы, индуктивности) чуть сложнее, возникают дифференциальные уравнения:

конденсатор: $I_c = C\frac{dU_c}{dt}$
индуктивность: $U_L = -L\frac{dI_L}{dt}$

4. Для нелинейных элементов типа диода используется ВАХ (вольт-амперная характеристика) для связи между $U_i$ и $I_i$, или какое-то её приближение.

5. Далее применяем правила Кирхгофа. В частности, они дадут некоторые простые выводы (но простых выводов может не хватить):
а) Ток через последовательно включенные элементы (без ответвлений) один и тот же
б) Напряжение на параллельно включенных элементах одно и то же.

6. После чего всё это сводится в систему уравнений от $2N$ переменных, где $N$ - количество элементов.

А вот как решать такие системы - это уже надо подробно изучать теорию\литературу.

-- 04.07.2018, 10:06 --

Про модель диода.
Судя по описанию на картинке, Вам достаточно простой модели:
1. Если напряжение на диоде меньше порогового: $U_D < U_t$, то сопротивление его бесконечно, то не течет: $I_D=0$
2. Если напряжение на диоде равно пороговому: $U_D = U_t$, то сопротивление его рано нулю, ток может быть любым.

Как это может быть реализовано в Вашем случае, с учетом того, что диод подключен последовательно индуктивности, а ток через индуктивность не может остановиться мгновенно:

1. Если на прошлой итерации ток через диод (а значит и через индуктивность) был ноль (или поменял знак, что тоже самое), а напряжение еще не достигло порогового $U_D < U_t$, то считаем ток нулем, $I_D=I_L=0$, снова рассчитываем напряжение на диоде $U_D$.
2. Если на прошлой итерации ток через диод (а значит и через индуктивность) был ноль, (или поменял знак, что тоже самое), а напряжение уже достигло порогового $U_D \geqslant U_t$, то фиксируем напряжение: $U_D = U_t$ и рассчитываем ток.
3. Если на прошлой итерации ток через диод (а значит и через индуктивность) был не ноль, то фиксируем напряжение: $U_D = U_t$ и рассчитываем ток.

[EUgeneUS]

Andrey_Kireew в сообщении #1324258 писал(а):

где $f(\cdot)$ - это ВАХ диода,

Это обратная функция к ВАХ диода.

[Andrey_Kireew]

Верно, ВАХ принято называть зависимость тока от напряжения, тут же наоборот, зависимость напряжения от тока. Это из размерностей, ТС должно быть и так понятно.

[xakepp35]

Andrey_Kireew в сообщении #1324258 писал(а):

Вообще, информационную нагрузку в нейроне несут входные сопротивления $R_{in}$, поэтому я и допустил, что выходные $R_{synapse}$ могут быть равны.

Никаких "выходных $R_{synapse}$" не существует. Это нарисовано, чтобы показать сложность и общую структуру модели. На деле каждый $R_{synapse}$ является ВХОДНЫМ сопротивлением для какого-то другого следующего нейрона. Причём с отягчающими обстоятельствами - если мы имеем список всех $R_{in}$ и входной ток определить просто - то списка "выходных сопротивлений" просто не существует и мы даже не знаем к какому количеству подключен выход нейрона, или он вообще может быть подключен к мышце..

Andrey_Kireew в сообщении #1324258 писал(а):

Если $R_{synapse}$ разные, то на каждый выход нужно своё уравнение, и если N=1000, и нейрон к тому же не один, то Вы наверное представляете, во что это всё выливается.

Этого нужно как раз таки избежать. В этом плане нужно сделать как-то "универсально". Например, вообразив что там стоит многообмоточный трансформатор, где первичная обмотка это $L_a$ а вторичные обмотки - это $R_{synapse}$ - они же $R_{in}$ для каких-то следующих нейронов, и их количество неизвестно и не влияет на выход. Ограничения по мощности и потери отсутствуют. Сигнал же в реальной клетке просто распространяется по отростку, вызывая выбросы химических веществ, медиаторов(магнитный поток), которые улавливаются всеми, кто подключен и количество подключенных неизвестно.

грубо говоря как-то так это возможно представить - так же проще будет? много Rin, N штук. И никаких Rout.

Andrey_Kireew в сообщении #1324258 писал(а):

Имейте в виду, система нелинейная, её так просто не решить. Тут придётся использовать метод итераций.

именно формулы для обновления значений напряжений на конденсаторах и токов через катушки за итерацию меня и интересуют.
За одну итерацию для каждой клетки я делаю $V_m=V_m + {\Delta}V \cdot {\Delta}t$ и $I_a=I_a + {\Delta}I \cdot {\Delta}t$
где $V_m$ - напряжение на кондденсаторе $C_m$ а $I_a$ - ток в катушке $L_a$

Задача и заключается чтобы выразить ${\Delta}V$ и ${\Delta}I$ учитывая входные цепи (товарищ говорит подсказал, что это правило киргофа) и диод(нужна какая-то формула для симулирования)

Я так понмаю что это - производные. Как подставить в эту схему вторую производную?

[Andrey_Kireew]

xakepp35 в сообщении #1324445 писал(а):

Andrey_Kireew в сообщении #1324258 писал(а):

Имейте в виду, система нелинейная, её так просто не решить. Тут придётся использовать метод итераций.

именно формулы для обновления значений напряжений на конденсаторах и токов через катушки за итерацию меня и интересуют.
За одну итерацию для каждой клетки я делаю $V_m=V_m + {\Delta}V \cdot {\Delta}t$ и $I_a=I_a + {\Delta}I \cdot {\Delta}t$

Вы не совсем правильно меня поняли. Задача немного сложнее чем Вам кажется.
Дело в том, что из-за наличия диода (а без нелинейного элемента в нейросети уж точно никуда), не получится просто взять и посчитать параметры состояния цепи на следующем шаге. Может Вы не обратили внимания - но в одном из уравнений фигурирует $f(I_{A})$. Это функция, зависящая от тока через диод. Но этот ток является неизвестной величиной. И сама функция тоже поэтому неизвестна.

Такие уравнения решаются только приближенно. Вот один, простой, но рабочий способ (метод простой итерации):
1. вместо неизвестного значения $f(I_A)$ берётся начальное приближение, например $f_0=0$ для $I_{A0}=0$
2. в ходе решения системы находится неизвестное значение $I_{A}$, которое будет отличаться от $I_{A0}=0$
3. полученное $I_{A}$ принимается за новое начальное приближение и по ВАХ диода находится соответствующее ему новое значение $f_0$

Шаги 2 и 3 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность (точность контролируется о разности $I_{A0}$ и полученного в результате решения системы $I_{A}$

Эти итерации я и имел в виду.

Что касается трансформаторов - то они мало чего дадут, но сильно всё усложнят, и сильно отдалят модель от реальности.
Судя по тому, что Вы сейчас описали (множество соединённых между собой нейронов), в модели есть серьёзная проблема - это угасание сигналов. В Вашей цепи нет активных элементов. Мощность, так или иначе, рассеивается на резисторах. Если нейронов немного, то ещё ладно. Но если вы намекаете на аналогии с нервной системой, то сигналы рано или поздно угаснут до такой степени, что последующие нейроны просто перестанут на них реагировать.
В биологических нейронах такой проблемы нет, так как они сами генерируют электрический сигнал. Поэтому, Вашу модель нужно доработать, иначе она не будет функционировать.