2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пространства со склеенными точками
Сообщение26.06.2018, 21:46 


06/09/17
98
Москва
Есть ли какой-либо метод обоснования, например, гомотопической эквивалентности тора с двумя отождествленными точками и букета тора и окружности, не привлекающий технику CW-комплексов?

Я недавно начал изучать алгебраическую топологию, и все похожие примеры, которые я видел, находятся в книжке "Элементарная топология" и используют CW-комплексы. Они мне пока что недоступны, потому что формат ЭТ в части этой главы я не осилил, и никакой альтернативы этой книжке не нашел (которая не требовала бы больше недели на освоение этого раздела).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение26.06.2018, 22:43 
Заслуженный участник


14/10/14
599
А вы знаете, что любая деформационная ретракция -- гомотопическая эквивалентность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение26.06.2018, 23:45 
Заслуженный участник


18/01/15
694
npetrich
Попробуйте рассмотреть для начала диск, а не тор. Рассмотрите три пространства: (1) Диск, в котором склеены две внутренние точки, (2) берем диск, в нем две внутренние точки, и приклеиваем концами отрезок, (3) к какой-то внутренней точке приклеиваем окружность (т.е. букет диска и окружности, причем общая точка --- на диске внутренняя). Попробуйте доказать, прямо руками, что эти три пространства гомотопически эквивалентны, причем относительно границы диска, т.е так, что при соответствующих гомотопиях граница диска неподвижна. (Надеюсь, я сам не ошибся насчет этого факта...).

-- 26.06.2018, 22:55 --

ЗЫ. И, по моему, тут про CW-комплексы думать вообще не обязательно, просто представьте, что это всё из пластилина сделано (что,конечно, не заменяет строгого доказательства!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение27.06.2018, 00:27 


06/09/17
98
Москва
Slav-27
Знаю. Намёк понял, спасибо:)

vpb
Спасибо, в ближайшее время займусь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение02.07.2018, 19:22 


06/09/17
98
Москва
Наконец у меня руки дошли до этой задачи.

$(1) \simeq (2)$
Пусть $X$ - диск со склеенными точками $\{ x', x''\}$, $Y$ -- диск с приклеенным отрезком $I_Y$. Вокруг каждой из двух точек $X$ вырежем по окружности, и радиусы этих окружностей отобразим на соответствующие половины отрезка $I_Y$, оставшуюся часть $X$ отобразим на $Y\textbackslash I_Y$ -- получим отображение $f$. Теперь для получения $g$ отобразим весь $I_Y$ в склеенное двоеточие пространства $X$, $Y\textbackslash I_Y$ отобразим на $X \textbackslash \{ x', x'' \}$ понятно как. $f, g$ -- два гомотопически обратных отображения, при этом гомотопии иставляют на месте точки границ дисков.

$(2) \simeq (3)$
Приклеиваем две (южные и северные) стороны квадрата к двум разным радиусам диска так, чтобы $(0,0)$ и $(0,1)$ оказались в центре диска. Деформационно ретрактируем квадрат на три стороны: южную, северную и одну из неприклеенных (а именно, строим деформационные ретракции для квадрата с двумя склееными соседними вершинами, который канонически вкладывается в наше пространство). В одном случае получаем букет, в другом -- $Y$

Мне не очень нравится доказательство $(1) \simeq (2)$ -- много произвола, мне кажется. Можно ли доказать это проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение14.07.2018, 13:22 
Заслуженный участник


14/10/14
599
npetric в сообщении #1324013 писал(а):
$(1) \simeq (2)$
Пусть $X$ - диск со склеенными точками $\{ x', x''\}$, $Y$ -- диск с приклеенным отрезком $I_Y$. Вокруг каждой из двух точек $X$ вырежем по окружности, и радиусы этих окружностей отобразим на соответствующие половины отрезка $I_Y$, оставшуюся часть $X$ отобразим на $Y\textbackslash I_Y$ -- получим отображение $f$. Теперь для получения $g$ отобразим весь $I_Y$ в склеенное двоеточие пространства $X$, $Y\textbackslash I_Y$ отобразим на $X \textbackslash \{ x', x'' \}$ понятно как. $f, g$ -- два гомотопически обратных отображения, при этом гомотопии иставляют на месте точки границ дисков.
Я прочитал это много раз и совершенно ничего не понял.

А потом прочитал ещё несколько раз и понял, что да! идея у вас правильная. (Но вы, я надеюсь, понимаете, что доказательством это не является.)

Прочитать второй абзац, видимо, так же сложно, как и первый, и у меня сейчас нету на это времени.

$(1)\simeq (2)$ особо упростить не получится, скорее всего.

Но можно использовать следующую теорему: пусть пара из пространства и его стягиваемого подпространства удовлетворяет свойству продолжения гомотопии, тогда факторизация по этому подпространству -- гомотопическая эквивалентность. Если вы её знаете, то всё становится просто. Когда я писал выше про деформационную ретракцию, я думал именно про это, а про деформационную ретракцию написал по ошибке.
npetric в сообщении #1322837 писал(а):
Знаю. Намёк понял, спасибо:)
Поэтому даже интересно, что такое вы смогли понять из моего намёка. Я, во всяком случае, не знаю, как тут можно применить деформационную ретракцию.

npetric в сообщении #1322815 писал(а):
используют CW-комплексы. Они мне пока что недоступны, потому что формат ЭТ в части этой главы я не осилил, и никакой альтернативы этой книжке не нашел (которая не требовала бы больше недели на освоение этого раздела).
А напрасно, алгебраическая топология -- это наука про $CW$-комплексы, в некотором смысле.

Читали Фоменко, Фукс. Курс гомотопической топологии? Советую. Недостаток -- конспективность и встречающиеся ошибки. Сначала она мне не нравилась, потом сильно понравилась; я слышал, что будет ещё следующий этап, когда она опять перестанет нравиться. Ну а вообще стандартный учебник сейчас Хатчер. Алгебраическая топология. Стиль вот только у него очень на любителя, и особенно в начале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение15.07.2018, 22:03 


06/09/17
98
Москва
Slav-27
Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):
Но можно использовать следующую теорему: пусть пара из пространства и его стягиваемого подпространства удовлетворяет свойству продолжения гомотопии, тогда факторизация по этому подпространству -- гомотопическая эквивалентность.


Я подумал над этим -- разве это не перенесёт просто всю сложность на доказательство того факта, что пара пространства и открезка обладает свойством продолжения гомотопии? И в ходе доказательства, как мне кажется, придётся использовать те же конструкции, что использовал я.

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):
Поэтому даже интересно, что такое вы смогли понять из моего намёка.


Попытался придумать пространство, для которого оба случая были бы деформационными ретрактами. Попытка не увенчалась успехом.

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):
Читали Фоменко, Фукс. Курс гомотопической топологии? Советую.


Нет, не читал. Спасибо, обязательно загляну в него.


Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):
Ну а вообще стандартный учебник сейчас Хатчер. Алгебраическая топология.


Когда-то попробовал его почитать -- мне он тоже не понравился. И особенно первая глава, да. И о $CW$-комплексах там особо не говорится, насколько я помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение15.07.2018, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65622
Возьмите на торе две точки, и соедините их отрезком. (Не пересекающим тора внутренними точками.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение15.07.2018, 23:42 


06/09/17
98
Москва
Munin в сообщении #1326934 писал(а):
Возьмите на торе две точки, и соедините их отрезком. (Не пересекающим тора внутренними точками.)

Мне понятно, как провести доказательство, если принять за данное, что пара пространства и приклеенного отрезка обладает свойством продолжения гомотопии (если вы об этом). Не знаю, как доказать последнее без лишней головной боли.

Slav-27
Кстати, сообщение Munin напомнило мне о том, что через свойство продолжения гомотопии решается не сама задача с тором, а более простая задача с окружностями. Возможно, я чего-то не понимаю, но если использовать это свойство, то придётся для каждого многообразия со склеенными точками заново доказывать, что оно выполняется, что может быть неудобно.

В случае, когда гомотопия оставляет неподвижными точки границы круга, напротив, понятно, как задача для круга связана с задачей для тора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение16.07.2018, 07:22 
Заслуженный участник


14/10/14
599
npetric в сообщении #1326946 писал(а):
придётся для каждого многообразия со склеенными точками заново доказывать, что оно выполняется, что может быть неудобно.
Можно просто один раз доказать, что если пространство клеточное и подпространство тоже клеточное, то это свойство выполняется. (Фоменко-Фукс, § 5, п. 5.) Но это, видимо, есть "техника CW-комплексов", которой вы избегаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение16.07.2018, 11:42 


06/09/17
98
Москва
Slav-27
Очень мощное утверждение. Спасибо! Буду ботать по Фуксу

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства со склеенными точками
Сообщение16.07.2018, 21:43 
Заслуженный участник


14/10/14
599
Хатчер тоже хороший. Определение CW-комплексов хорошо разобрано как раз у Хатчера, например.
npetric в сообщении #1326922 писал(а):
И о $CW$-комплексах там особо не говорится, насколько я помню.
В конце, в приложении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group