Пространства со склеенными точками

[npetric]

Есть ли какой-либо метод обоснования, например, гомотопической эквивалентности тора с двумя отождествленными точками и букета тора и окружности, не привлекающий технику CW-комплексов?

Я недавно начал изучать алгебраическую топологию, и все похожие примеры, которые я видел, находятся в книжке "Элементарная топология" и используют CW-комплексы. Они мне пока что недоступны, потому что формат ЭТ в части этой главы я не осилил, и никакой альтернативы этой книжке не нашел (которая не требовала бы больше недели на освоение этого раздела).

[Slav-27]

А вы знаете, что любая деформационная ретракция -- гомотопическая эквивалентность?

[vpb]

npetrich
Попробуйте рассмотреть для начала диск, а не тор. Рассмотрите три пространства: (1) Диск, в котором склеены две внутренние точки, (2) берем диск, в нем две внутренние точки, и приклеиваем концами отрезок, (3) к какой-то внутренней точке приклеиваем окружность (т.е. букет диска и окружности, причем общая точка --- на диске внутренняя). Попробуйте доказать, прямо руками, что эти три пространства гомотопически эквивалентны, причем относительно границы диска, т.е так, что при соответствующих гомотопиях граница диска неподвижна. (Надеюсь, я сам не ошибся насчет этого факта...).

-- 26.06.2018, 22:55 --

ЗЫ. И, по моему, тут про CW-комплексы думать вообще не обязательно, просто представьте, что это всё из пластилина сделано (что,конечно, не заменяет строгого доказательства!).

[npetric]

Slav-27
Знаю. Намёк понял, спасибо:)

vpb
Спасибо, в ближайшее время займусь!

[npetric]

Наконец у меня руки дошли до этой задачи.

$(1) \simeq (2)$
Пусть $X$ - диск со склеенными точками $\{ x', x''\}$, $Y$ -- диск с приклеенным отрезком $I_Y$. Вокруг каждой из двух точек $X$ вырежем по окружности, и радиусы этих окружностей отобразим на соответствующие половины отрезка $I_Y$, оставшуюся часть $X$ отобразим на $Y\textbackslash I_Y$ -- получим отображение $f$. Теперь для получения $g$ отобразим весь $I_Y$ в склеенное двоеточие пространства $X$, $Y\textbackslash I_Y$ отобразим на $X \textbackslash \{ x', x'' \}$ понятно как. $f, g$ -- два гомотопически обратных отображения, при этом гомотопии иставляют на месте точки границ дисков.

$(2) \simeq (3)$
Приклеиваем две (южные и северные) стороны квадрата к двум разным радиусам диска так, чтобы $(0,0)$ и $(0,1)$ оказались в центре диска. Деформационно ретрактируем квадрат на три стороны: южную, северную и одну из неприклеенных (а именно, строим деформационные ретракции для квадрата с двумя склееными соседними вершинами, который канонически вкладывается в наше пространство). В одном случае получаем букет, в другом -- $Y$

Мне не очень нравится доказательство $(1) \simeq (2)$ -- много произвола, мне кажется. Можно ли доказать это проще?

[Slav-27]

npetric в сообщении #1324013 писал(а):

$(1) \simeq (2)$
Пусть $X$ - диск со склеенными точками $\{ x', x''\}$, $Y$ -- диск с приклеенным отрезком $I_Y$. Вокруг каждой из двух точек $X$ вырежем по окружности, и радиусы этих окружностей отобразим на соответствующие половины отрезка $I_Y$, оставшуюся часть $X$ отобразим на $Y\textbackslash I_Y$ -- получим отображение $f$. Теперь для получения $g$ отобразим весь $I_Y$ в склеенное двоеточие пространства $X$, $Y\textbackslash I_Y$ отобразим на $X \textbackslash \{ x', x'' \}$ понятно как. $f, g$ -- два гомотопически обратных отображения, при этом гомотопии иставляют на месте точки границ дисков.

Я прочитал это много раз и совершенно ничего не понял.

А потом прочитал ещё несколько раз и понял, что да! идея у вас правильная. (Но вы, я надеюсь, понимаете, что доказательством это не является.)

Прочитать второй абзац, видимо, так же сложно, как и первый, и у меня сейчас нету на это времени.

$(1)\simeq (2)$ особо упростить не получится, скорее всего.

Но можно использовать следующую теорему: пусть пара из пространства и его стягиваемого подпространства удовлетворяет свойству продолжения гомотопии, тогда факторизация по этому подпространству -- гомотопическая эквивалентность. Если вы её знаете, то всё становится просто. Когда я писал выше про деформационную ретракцию, я думал именно про это, а про деформационную ретракцию написал по ошибке.

npetric в сообщении #1322837 писал(а):

Знаю. Намёк понял, спасибо:)

Поэтому даже интересно, что такое вы смогли понять из моего намёка. Я, во всяком случае, не знаю, как тут можно применить деформационную ретракцию.

npetric в сообщении #1322815 писал(а):

используют CW-комплексы. Они мне пока что недоступны, потому что формат ЭТ в части этой главы я не осилил, и никакой альтернативы этой книжке не нашел (которая не требовала бы больше недели на освоение этого раздела).

А напрасно, алгебраическая топология -- это наука про $CW$-комплексы, в некотором смысле.

Читали Фоменко, Фукс. Курс гомотопической топологии? Советую. Недостаток -- конспективность и встречающиеся ошибки. Сначала она мне не нравилась, потом сильно понравилась; я слышал, что будет ещё следующий этап, когда она опять перестанет нравиться. Ну а вообще стандартный учебник сейчас Хатчер. Алгебраическая топология. Стиль вот только у него очень на любителя, и особенно в начале.

[npetric]

Slav-27

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):

Но можно использовать следующую теорему: пусть пара из пространства и его стягиваемого подпространства удовлетворяет свойству продолжения гомотопии, тогда факторизация по этому подпространству -- гомотопическая эквивалентность.

Я подумал над этим -- разве это не перенесёт просто всю сложность на доказательство того факта, что пара пространства и открезка обладает свойством продолжения гомотопии? И в ходе доказательства, как мне кажется, придётся использовать те же конструкции, что использовал я.

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):

Поэтому даже интересно, что такое вы смогли понять из моего намёка.

Попытался придумать пространство, для которого оба случая были бы деформационными ретрактами. Попытка не увенчалась успехом.

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):

Читали Фоменко, Фукс. Курс гомотопической топологии? Советую.

Нет, не читал. Спасибо, обязательно загляну в него.

Slav-27 в сообщении #1326677 писал(а):

Ну а вообще стандартный учебник сейчас Хатчер. Алгебраическая топология.

Когда-то попробовал его почитать -- мне он тоже не понравился. И особенно первая глава, да. И о $CW$-комплексах там особо не говорится, насколько я помню.

[Munin]

Возьмите на торе две точки, и соедините их отрезком. (Не пересекающим тора внутренними точками.)

[npetric]

Munin в сообщении #1326934 писал(а):

Возьмите на торе две точки, и соедините их отрезком. (Не пересекающим тора внутренними точками.)

Мне понятно, как провести доказательство, если принять за данное, что пара пространства и приклеенного отрезка обладает свойством продолжения гомотопии (если вы об этом). Не знаю, как доказать последнее без лишней головной боли.

Slav-27
Кстати, сообщение Munin напомнило мне о том, что через свойство продолжения гомотопии решается не сама задача с тором, а более простая задача с окружностями. Возможно, я чего-то не понимаю, но если использовать это свойство, то придётся для каждого многообразия со склеенными точками заново доказывать, что оно выполняется, что может быть неудобно.

В случае, когда гомотопия оставляет неподвижными точки границы круга, напротив, понятно, как задача для круга связана с задачей для тора.

[Slav-27]

npetric в сообщении #1326946 писал(а):

придётся для каждого многообразия со склеенными точками заново доказывать, что оно выполняется, что может быть неудобно.

Можно просто один раз доказать, что если пространство клеточное и подпространство тоже клеточное, то это свойство выполняется. (Фоменко-Фукс, § 5, п. 5.) Но это, видимо, есть "техника CW-комплексов", которой вы избегаете.

[npetric]

Slav-27
Очень мощное утверждение. Спасибо! Буду ботать по Фуксу

[Slav-27]

Хатчер тоже хороший. Определение CW-комплексов хорошо разобрано как раз у Хатчера, например.

npetric в сообщении #1326922 писал(а):

И о $CW$-комплексах там особо не говорится, насколько я помню.

В конце, в приложении.