Факторгруппы свободного произведения

[npetric]

Пусть $G_1, G_2$ -- группы, заданные образующими и соотношениями $(S_1, R_1), (S_2, R_2)$.

Как с помощью образующих и соотношений $(S,R)$ задать:
1) $G_1 * G_2$
2) $G_1 \times G_2$
3) $G_1/\left[ G_1, G_1 \right]$

1) Интуитивно ясно, что $G_1 * G_2 \simeq ( S_1 \sqcup S_2, R_1 \sqcup R_2)$. Но доказать я это не могу.

2) $S = S_1 \sqcup S_2, \, R = (R_1 \sqcup R_2) \cup \lbrace [g_1,g_2] | g_1 \in S_1, g_2 \in S_2 \rbrace $.
Доказать можно следущим образом:
$G_1 * G_2 /[G_1, G_2] \simeq G_1 \times G_2$, поскольку $G_i$ в эту факторгруппу естественным образом вкладываются, порождают её, и являются в ней нормальными подгруппами (всё неочевидное проверяется непосредственно). Если с пунктом (1) я угадал правильно, то само утверждение следует из сказанного, (1) и этого факта.

3) Из рассуждений, аналогичных последней части п.2, ясно, что $S = S_1, R=R_1 \cup \lbrace [g,g'] | g, g' \in S_1 \rbrace$

Помогите с первым пунктом, пожалуйста!

[npetric]

Также в пунктах 2,3 надо говорить, что если $S$ порождает группу, то её коммутант порождается коммутаторами $S$

[iou]

Попробуйте показать, что свободное произведение групп с Вашим определением и в терминах копредставлений является копроизведением в категории групп, тогда Вы автоматически получите канонический автоморфизм.

[npetric]

Мне кажется, я могу это доказать через определение свободного произведения (как копроизведения в категории групп). Я потом подумаю над этим, пока что на другое перешёл.