Транзитивность факторизации?

[npetric]

Пусть $G$ - некоторая группа. Под $N(S)$ будем понимать нормальное замыкание множества $S$.

Верно ли следующее (с небольшым злоупотреблением обозначениями) утверждение:
$G/N(S) \simeq \frac{G/N(S\textbackslash \{x\})} {N(\{p(x)\})}$, где $x \in S, \, p : G \rightarrow G/N(S \textbackslash \{x\})$ --естественный гомоморфизм.

Я утверждаю, что верно, и рассуждаю так.

Составляем цепочку естественных гомоморфизмов:
$ \xymatrix{ G \ar[r]^{p} & G/N(S\textbackslash \{x\}) \ar[r]^{p'} & \frac{G/N(S\textbackslash \{x\})} {N(\{p(x)\})} } $

Поскольку $p$ сюрьективен, $S' = p(N(S))$ -- нормальная подгруппа, $p(x) \in S'$. Прообраз нормальной группы - нормальная группа (это я также придумал, и, кажется, доказал), поэтому $S' = N(\{p(x)\}), \, N(S) = p^{-1} (S') = p^{-1} (N(\{p(x)\}))$ (первое равенство следует из того, что $N(S)$ насыщенно, то есть полностью состоит из классов эквивалентности. Насыщенность следует из того, что $N(S\textbackslash\{x\})$ подгруппа $N(S)$). Поэтому $Ker (p' \circ p) = N(S)$

[vpb]

npetric в сообщении #1322393 писал(а):

небольшым злоупотреблением обозначениями

а также правописанием.

Цитата:

ЖИ, ШИ пиши через "и" ! (из 1-го класса)

Утверждение несомненно верно. Вообще, имеет место
Теорема о соответствии. Если $N\trianglelefteq G$, и $K<G$ --- подгруппа в $G$, содержащая $N$, то $K/N$ --- подгруппа в $G/N$. Наоборот, если $L$ --- подгруппа в $G/N$, то ее полный прообраз в $G$ --- подгруппа. $K$ нормальна тогда и только тогда, когда $K/N$ нормальна.
3-я теорема Нетер об изоморфизме Если $N,K\trianglelefteq G$ и $N\leq K$, то $G/K\cong((G/N)/(K/N))$.
(См. Кострикин, т.3, гл.1, пар.4).

[npetric]

Третью теорему об изоморфизме я знаю (как и первую русского языка, но исправлять было уже поздно;) ). Я о ней задумался в тот момент, но не успел заметить, что это можно через неё вывести. Получается, если её применять, то остаётся только доказать, что $N(\{p(x)\}) = S'$.

Спасибо!