Принцип Гамильтона vs принцип Мопертюи

[pogulyat_vyshel]

Есть совершенно элементарные, но принципиальные вещи, которые в учебники физики не проникают вообще. А ведь физики любят вариационные принципы. Какой-то странною любовью.

Рассмотрим натуральную систему с одной степенью свободы $L(x,\dot x)=\dot x^2/2-e^x.$
Непосредственно из интеграла энергии $\dot x^2/2+e^x=h$ легко усмотреть, что функционал действия

$$x(\cdot)\mapsto\int_{-T}^TL(x(t),\dot x(t))dt$$

вообще не имеет стационарной точки в классе кривых $x(\pm T)=0$, если только $T$ достаточно велико.

Несмотря на это , любые две точки прямой $x\in\mathbb{R}$ можно соединить геодезической метрики Якоби при правильном выборе константы $h$. Если точки совпадают, то их можно соединить невырождающейся в точку геодезической метрики Якоби,

[warlock66613]

pogulyat_vyshel в сообщении #1320534 писал(а):

вообще не имеет стационарной точки

Однако же стандартная процедура (вариация действия, разложение в ряд, интегрирование по частям, приравнивание к нулю) даёт вполне нормальные уравнения движения.

[pogulyat_vyshel]

Вот именно. А ведь эти нюансы должны у студентов в головах откладываться. Когда эти вещи формулируются сразу в виде теорем ,то когнитивный диссонанс при предъявлении таких примеров у студентов не развивается. Но так бывает только на математических отделениях.

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1320740 писал(а):

Однако же стандартная процедура (вариация действия, разложение в ряд, интегрирование по частям, приравнивание к нулю) даёт вполне нормальные уравнения движения.

Да, но время "отката" получается ограниченным сверху (вне зависимости от начальной скорости) в силу достаточно быстрого (как минимум квадратичного) роста потенциала справа (и убывания налево).

pogulyat_vyshel в сообщении #1320748 писал(а):

Когда эти вещи формулируются сразу в виде теорем ,то когнитивный диссонанс при предъявлении таких примеров у студентов не развивается. Но так бывает только на математических отделениях.

Просто классическая механика в какой-то момент отделилась от физики. То же случилось и с МСС и т.д.

[Metford]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1320785 писал(а):

Просто классическая механика в какой-то момент отделилась от физики.

К сожалению, не изменив названия.

[warlock66613]

pogulyat_vyshel в сообщении #1320748 писал(а):

Когда эти вещи формулируются сразу в виде теорем ,то когнитивный диссонанс при предъявлении таких примеров у студентов не развивается.

Всё физику так не переформулируешь (?), так что студентам скорее наоборот лучше сразу привыкать работать с тем, что называется «физический уровень строгости», в частности к тому, что некоторые вроде бы эквивалентные утверждения оказываются отличными при строгой формулировке, и — таким образом — не испытывать когнитивного диссонанса при предъявлении таких примеров.

[Munin]

Вот я понятия не имел об этом примере. (И тем более, о формулировках теорем.) Однако у меня никакого когнитивного диссонанса.

Я боюсь, уважаемый pogulyat_vyshel путает формальное знание о формулировках теорем, с практическим знанием их применения, владением арсеналом примеров, знакомством с нюансами и подводными камнями. Первое дать можно (однако если давать физикам - сразу возникает вопрос "за счёт чего?", на который ответа не предлагается, как я вижу), а второе - достигается только на практике. Студент, который сдал - забыл - пошёл работать по другой специальности, будет таким же дураком в этих вопросах, как и тот, кто правильной формулировки никогда не слышал.

Преподавателю может быть трудно себе представить, как можно не помнить формулировку теоремы, или не понимать всех её следствий, потому что он сам в этой формулировке "крутится" много лет, и продолжает "крутиться". Однако это как раз крайний случай.

-- 18.06.2018 13:56:49 --

Metford в сообщении #1320792 писал(а):

К сожалению, не изменив названия.

Есть пример намного хуже: слово "экология".

-- 18.06.2018 14:17:12 --

Совершенно случайно в другом топике нашёл своё длинное высказывание на смежную тему: https://dxdy.ru/post1137178.html#p1137178
Предлагаю для обсуждения.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1320785 писал(а):

Да, но время "отката" получается ограниченным сверху

Угу, однако можно прогуляться и дальше :) $-\Delta u=e^u,\quad u(\partial D)=0,\quad D\subset\mathbb{R}^m$