2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность отображения
Сообщение13.06.2018, 22:36 
Пусть в хаусдорфовом пространстве $X$ содержится подпространство $T$, гомеоморфное $S^1 \times S^1 \textbackslash (1,1)$ и открытое в $X$. Доказать, что отображение в тор, действующее "тождественно" на $T$, и переводящее дополнение к нему в $(1,1)$, непрерывно.

Непрерывность в точках подпространства $T$ очевидна, про остальные ничего сказать не могу. Дайте небольшую подсказку, пожалуйста!

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение13.06.2018, 22:51 
Аватара пользователя
Прямо по определению непрерывного отображения.

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 01:34 
Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт? Это объединение открытого в $T$ множества, следовательно, открытого, и замкнутого $X \textbackslash T$. Почему это объединение открыто, я не могу доказать. Понимаю, что где-то торможу (возможно, очень сильно)

-- 14.06.2018, 01:38 --

Забыл добавить, что $X$ связно. Не знаю, влияет ли -- это одна из подзадач другой задачи

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 02:23 
Аватара пользователя
npetric в сообщении #1319706 писал(а):
Не знаю, влияет ли
Не влияет.

npetric в сообщении #1319706 писал(а):
Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт?
А что представляет собой дополнение этой окрестности? Каков прообраз этого дополнения?

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 11:41 
Это компактное подмножество $T$, поэтому оно компактно в $X$, и, из хаусдорфовости, замкнуто.

Открытость также не при чём, получается?

Спасибо!

-- 14.06.2018, 11:49 --

Открытость для других окрестностей понадобится

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 18:55 
Аватара пользователя
npetric в сообщении #1319817 писал(а):
Открытость также не при чём, получается?
Открытость очень даже при чём. Без неё непрерывности не будет.
Кстати, в этой задаче проще рассуждать о замкнутых множествах. Определение непрерывного отображения можно сформулировать в терминах замкнутых множеств. И рассмотреть два случая: когда замкнутое подмножество тора $S^1\times S^1$ не содержит точку $(1,1)$, и когда содержит.

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 19:01 
Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$. Разве я что-то неправильно в предыдущем сообщении сказал? В таком случае всё уже доказано

 
 
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 19:06 
Аватара пользователя
npetric в сообщении #1319951 писал(а):
Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$.
Ну тогда всё понятно. Я просто не заметил, говорили ли Вы об этом ранее.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group