2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность отображения
Сообщение13.06.2018, 22:36 


06/09/17
98
Москва
Пусть в хаусдорфовом пространстве $X$ содержится подпространство $T$, гомеоморфное $S^1 \times S^1 \textbackslash (1,1)$ и открытое в $X$. Доказать, что отображение в тор, действующее "тождественно" на $T$, и переводящее дополнение к нему в $(1,1)$, непрерывно.

Непрерывность в точках подпространства $T$ очевидна, про остальные ничего сказать не могу. Дайте небольшую подсказку, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение13.06.2018, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16173
Новомосковск
Прямо по определению непрерывного отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 01:34 


06/09/17
98
Москва
Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт? Это объединение открытого в $T$ множества, следовательно, открытого, и замкнутого $X \textbackslash T$. Почему это объединение открыто, я не могу доказать. Понимаю, что где-то торможу (возможно, очень сильно)

-- 14.06.2018, 01:38 --

Забыл добавить, что $X$ связно. Не знаю, влияет ли -- это одна из подзадач другой задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16173
Новомосковск
npetric в сообщении #1319706 писал(а):
Не знаю, влияет ли
Не влияет.

npetric в сообщении #1319706 писал(а):
Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт?
А что представляет собой дополнение этой окрестности? Каков прообраз этого дополнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 11:41 


06/09/17
98
Москва
Это компактное подмножество $T$, поэтому оно компактно в $X$, и, из хаусдорфовости, замкнуто.

Открытость также не при чём, получается?

Спасибо!

-- 14.06.2018, 11:49 --

Открытость для других окрестностей понадобится

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16173
Новомосковск
npetric в сообщении #1319817 писал(а):
Открытость также не при чём, получается?
Открытость очень даже при чём. Без неё непрерывности не будет.
Кстати, в этой задаче проще рассуждать о замкнутых множествах. Определение непрерывного отображения можно сформулировать в терминах замкнутых множеств. И рассмотреть два случая: когда замкнутое подмножество тора $S^1\times S^1$ не содержит точку $(1,1)$, и когда содержит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 19:01 


06/09/17
98
Москва
Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$. Разве я что-то неправильно в предыдущем сообщении сказал? В таком случае всё уже доказано

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность отображения
Сообщение14.06.2018, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16173
Новомосковск
npetric в сообщении #1319951 писал(а):
Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$.
Ну тогда всё понятно. Я просто не заметил, говорили ли Вы об этом ранее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group