Непрерывность отображения

[npetric]

Пусть в хаусдорфовом пространстве $X$ содержится подпространство $T$, гомеоморфное $S^1 \times S^1 \textbackslash (1,1)$ и открытое в $X$. Доказать, что отображение в тор, действующее "тождественно" на $T$, и переводящее дополнение к нему в $(1,1)$, непрерывно.

Непрерывность в точках подпространства $T$ очевидна, про остальные ничего сказать не могу. Дайте небольшую подсказку, пожалуйста!

[Someone]

Прямо по определению непрерывного отображения.

[npetric]

Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт? Это объединение открытого в $T$ множества, следовательно, открытого, и замкнутого $X \textbackslash T$. Почему это объединение открыто, я не могу доказать. Понимаю, что где-то торможу (возможно, очень сильно)

-- 14.06.2018, 01:38 --

Забыл добавить, что $X$ связно. Не знаю, влияет ли -- это одна из подзадач другой задачи

[Someone]

npetric в сообщении #1319706 писал(а):

Не знаю, влияет ли

Не влияет.

npetric в сообщении #1319706 писал(а):

Почему прообраз окрестности $(1,1)$ открыт?

А что представляет собой дополнение этой окрестности? Каков прообраз этого дополнения?

[npetric]

Это компактное подмножество $T$, поэтому оно компактно в $X$, и, из хаусдорфовости, замкнуто.

Открытость также не при чём, получается?

Спасибо!

-- 14.06.2018, 11:49 --

Открытость для других окрестностей понадобится

[Someone]

npetric в сообщении #1319817 писал(а):

Открытость также не при чём, получается?

Открытость очень даже при чём. Без неё непрерывности не будет.
Кстати, в этой задаче проще рассуждать о замкнутых множествах. Определение непрерывного отображения можно сформулировать в терминах замкнутых множеств. И рассмотреть два случая: когда замкнутое подмножество тора $S^1\times S^1$ не содержит точку $(1,1)$, и когда содержит.

[npetric]

Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$. Разве я что-то неправильно в предыдущем сообщении сказал? В таком случае всё уже доказано

[Someone]

npetric в сообщении #1319951 писал(а):

Открытость $T$ нужна только для доказательства открытости прообразов окрестностей тора, не содержащих $(1,1)$.

Ну тогда всё понятно. Я просто не заметил, говорили ли Вы об этом ранее.