2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 минимальный многочлен элемента поля
Сообщение13.06.2018, 22:23 
Аватара пользователя


08/10/17
35
Доброго времени суток. Следующая задача:
Дано поле $F_{2^6}$, очевидно, в мультипликативной группе этого поля есть элемент порядка 21. Как найти минимальный многочлен этого элемента?
$x^{21}+1\ \vdots \ P(x)$, где $P(x)$-минимальный многочлен;
я разложил $x^{21}+1$ в $(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)(x^{14}-x^7+1)$, подскажите пожалуйста, как действовать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение13.06.2018, 22:48 


17/04/18
102
Минимальный многочлен неприводим, поэтому минимальный многочлен равен одной из скобок, первой и второй это не может быть - подумайте почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение13.06.2018, 23:05 
Аватара пользователя


08/10/17
35
nya
извините, кажется я ошибся: ведь если эл. порядка 21, то тогда на $P(x)$ должен делиться $x^{21}-1$, а не $x^{21}+1$, ведь так?
тогда раскладывается в $(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{14}+x^7+1)$
тогда пусть первые два сомножителя - неприводимые, но что сказать про третью скобку?

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение13.06.2018, 23:12 


17/04/18
102
philurame в сообщении #1319666 писал(а):
н делиться $x^{21}-1$, а не $x^{21}+1$, ведь так?

Так, но у вас ведь всё над $F_2$, так что это без разницы.
philurame в сообщении #1319666 писал(а):
тогда пусть первые два сомножителя - неприводимые, но что сказать про третью скобку?

Я думал вы проверили что все три неприводимы над $F_2$, если нет, то проверьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение13.06.2018, 23:14 
Аватара пользователя


08/10/17
35
nya
не $F_2$, а $F_{2^6}$
я сейчас понял, что это сложная задача, пока повременю с ней

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 02:08 
Аватара пользователя


08/10/17
35
nya
Простите, теперь понял. если они не приводимы, то первая скобка - нет, так как порядок - 1, вторая - нет, тк порядок как максимум - 7 (корень x^7-1), тогда остаётся последняя скобка. Но как доказать что вторая скобка - неприводимый многочлен?

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 02:15 


17/04/18
102
Она не неприводимый, я ошибся. Попробуйте её факторизовать

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 02:28 
Аватара пользователя


08/10/17
35
nya
проще разложить как $(x^7-1)(x^{14}+x^7+1)$; как теперь показать что $x^{14}+x^7+1$-простой? факторизовать, значит рассмотреть кольцо $\mathbb{Z}_2[x]/(x^{14}+x^7+1)$ и доказать, что это - поле? но как это сделать?

-- 14.06.2018, 02:30 --

просто теперь не нужно доказывать простоту той второй скобки, т.к. $x^7-1$ это многочлен элемента порядка не больше 7, а мы ищем 21.

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 02:38 


17/04/18
102
$x^{14}+x^7+1$ не простой над F2, его нужно разложить на множители

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 07:57 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
Степени многочленов, неприводимых над $\mathbb Z_2$ и имеющих корни в $\mathbb F_{2^6}$, могут принимать всего 4 значения. Какие?

Я бы решал совсем по-другому.
Взял бы неприводимый над $\mathbb Z_2$ полином 6-й степени.
В полиномиальном базисе нашел бы элемент $a$, порядка 21.
Тогда $a, a^2, a^4, a^8, a^{16}, a^{32}$ - корни искомого полинома.
А дальше - формулы Виета.

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение14.06.2018, 13:23 


17/04/18
102
Точно ведь! Но с факторизацией тоже докрутить можно, особенно если воспользоваться какой-нибудь СAS!

 Профиль  
                  
 
 Re: минимальный многочлен элемента поля
Сообщение15.06.2018, 11:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1711
philurame в сообщении #1319720 писал(а):
как теперь показать что $x^{14}+x^7+1$-простой?


$(x^{2p}+x^p+1)(x^p-1) = x^{3p}-1$ делится на $x^3-1$, а $x^p-1$ - не делится...
Что бы это значило? А - конкретно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group