минимальный многочлен элемента поля

[philurame]

Доброго времени суток. Следующая задача:
Дано поле $F_{2^6}$, очевидно, в мультипликативной группе этого поля есть элемент порядка 21. Как найти минимальный многочлен этого элемента?
$x^{21}+1\ \vdots \ P(x)$, где $P(x)$-минимальный многочлен;
я разложил $x^{21}+1$ в $(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)(x^{14}-x^7+1)$, подскажите пожалуйста, как действовать дальше?

[nya]

Минимальный многочлен неприводим, поэтому минимальный многочлен равен одной из скобок, первой и второй это не может быть - подумайте почему.

[philurame]

nya
извините, кажется я ошибся: ведь если эл. порядка 21, то тогда на $P(x)$ должен делиться $x^{21}-1$, а не $x^{21}+1$, ведь так?
тогда раскладывается в $(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{14}+x^7+1)$
тогда пусть первые два сомножителя - неприводимые, но что сказать про третью скобку?

[nya]

philurame в сообщении #1319666 писал(а):

н делиться $x^{21}-1$, а не $x^{21}+1$, ведь так?

Так, но у вас ведь всё над $F_2$, так что это без разницы.

philurame в сообщении #1319666 писал(а):

тогда пусть первые два сомножителя - неприводимые, но что сказать про третью скобку?

Я думал вы проверили что все три неприводимы над $F_2$, если нет, то проверьте.

[philurame]

nya
не $F_2$, а $F_{2^6}$
я сейчас понял, что это сложная задача, пока повременю с ней

[philurame]

nya
Простите, теперь понял. если они не приводимы, то первая скобка - нет, так как порядок - 1, вторая - нет, тк порядок как максимум - 7 (корень x^7-1), тогда остаётся последняя скобка. Но как доказать что вторая скобка - неприводимый многочлен?

[nya]

Она не неприводимый, я ошибся. Попробуйте её факторизовать

[philurame]

nya
проще разложить как $(x^7-1)(x^{14}+x^7+1)$; как теперь показать что $x^{14}+x^7+1$-простой? факторизовать, значит рассмотреть кольцо $\mathbb{Z}_2[x]/(x^{14}+x^7+1)$ и доказать, что это - поле? но как это сделать?

-- 14.06.2018, 02:30 --

просто теперь не нужно доказывать простоту той второй скобки, т.к. $x^7-1$ это многочлен элемента порядка не больше 7, а мы ищем 21.

[nya]

$x^{14}+x^7+1$ не простой над F2, его нужно разложить на множители

[VAL]

Степени многочленов, неприводимых над $\mathbb Z_2$ и имеющих корни в $\mathbb F_{2^6}$, могут принимать всего 4 значения. Какие?

Я бы решал совсем по-другому.
Взял бы неприводимый над $\mathbb Z_2$ полином 6-й степени.
В полиномиальном базисе нашел бы элемент $a$, порядка 21.
Тогда $a, a^2, a^4, a^8, a^{16}, a^{32}$ - корни искомого полинома.
А дальше - формулы Виета.

[nya]

Точно ведь! Но с факторизацией тоже докрутить можно, особенно если воспользоваться какой-нибудь СAS!

[DeBill]

philurame в сообщении #1319720 писал(а):

как теперь показать что $x^{14}+x^7+1$-простой?

$(x^{2p}+x^p+1)(x^p-1) = x^{3p}-1$ делится на $x^3-1$, а $x^p-1$ - не делится...
Что бы это значило? А - конкретно?