2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 20:31 


06/09/17
112
Москва
Задача: доказать, что фундаментальная группа букета из $n$ окружностей (склеенные по точке окружности) является свободной группой с $n$ образующими (Виро, "Элементарная топология", параграф 36).

Задача из основного курса, в решениях -- совершенно непонятная отсылка к тому, что у свободной группы длина слова зависит от выбора образующих. На этом этапе читателю известна только теорема о накрывающих путях/гомотопиях и соответствующее вычисление фундаментальной группы окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 22:16 


17/04/18
143
Раз известно то её и использовать, легко показать что универсальное накрытие это просто бесконечное полное 4-арное дерево (граф Кэли для $Z * Z$), на нём $Z*Z$ действует очевидным образом, это действие является накрывающим действием и фактор по нему ровно $S^1 \vee S^1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 22:43 


06/09/17
112
Москва
В книге сперва даётся это упражнение, а после приводится пример накрытия для двух окружностей, о котором вы как раз говорите. Думаю, решение предполагается другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 01:49 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
npetric в сообщении #1319156 писал(а):
В книге сперва даётся это упражнение, а после приводится пример накрытия для двух окружностей, о котором вы как раз говорите. Думаю, решение предполагается другое
Решение там действительно другое, не через фактор по действию группы (что в данной ситуации было бы бессмысленно, поскольку читатель еще толком с фундаментальной группой не знаком), а прямо через построение универсального накрытия. (Т.е. рассуждение похоже на таковое для окружности, но несколько сложнее).

Что означает непонятная отсылка в решении --- не могу сказать, может быть, у меня, наверное, другое издание. В том издании, что у меня, решение --- это отсылка к одому из следующих пунктов в книжке. То есть пример букета двух окружностей --- это и есть решение, а саму задачу надо так понимать: "вот теорема, попробуйте доказать сами, а если не получится --- так прочитайте решение в следующем пункте". (Только накрытие там несколько странно строится, с помощью склеивания "крестов". По моему, более естественно склеивать просто отрезки.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 02:18 


06/09/17
112
Москва
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 02:22 


17/04/18
143
vpb в сообщении #1319711 писал(а):
Решение там действительно другое, не через фактор по действию группы (что в данной ситуации было бы бессмысленно, поскольку читатель еще толком с фундаментальной группой не знаком), а прямо через построение универсального накрытия.

Построить универсальное накрытие это то же самое что задать на односвязном пространстве накрывающее действие и гомеоморфизм фактора по этому действию с тем пространством на котором строим. Построить действие или построить накрывающий морфизм - один и тот же набор данных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 11:09 


06/09/17
112
Москва
Я примерно так ваше решение и понял. "Спасибо" относилось к разъяснению про то, как нужно читать данный учебник

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ivan_z


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group