2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 20:31 


06/09/17
96
Москва
Задача: доказать, что фундаментальная группа букета из $n$ окружностей (склеенные по точке окружности) является свободной группой с $n$ образующими (Виро, "Элементарная топология", параграф 36).

Задача из основного курса, в решениях -- совершенно непонятная отсылка к тому, что у свободной группы длина слова зависит от выбора образующих. На этом этапе читателю известна только теорема о накрывающих путях/гомотопиях и соответствующее вычисление фундаментальной группы окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 22:16 


17/04/18
102
Раз известно то её и использовать, легко показать что универсальное накрытие это просто бесконечное полное 4-арное дерево (граф Кэли для $Z * Z$), на нём $Z*Z$ действует очевидным образом, это действие является накрывающим действием и фактор по нему ровно $S^1 \vee S^1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение11.06.2018, 22:43 


06/09/17
96
Москва
В книге сперва даётся это упражнение, а после приводится пример накрытия для двух окружностей, о котором вы как раз говорите. Думаю, решение предполагается другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 01:49 
Заслуженный участник


18/01/15
681
npetric в сообщении #1319156 писал(а):
В книге сперва даётся это упражнение, а после приводится пример накрытия для двух окружностей, о котором вы как раз говорите. Думаю, решение предполагается другое
Решение там действительно другое, не через фактор по действию группы (что в данной ситуации было бы бессмысленно, поскольку читатель еще толком с фундаментальной группой не знаком), а прямо через построение универсального накрытия. (Т.е. рассуждение похоже на таковое для окружности, но несколько сложнее).

Что означает непонятная отсылка в решении --- не могу сказать, может быть, у меня, наверное, другое издание. В том издании, что у меня, решение --- это отсылка к одому из следующих пунктов в книжке. То есть пример букета двух окружностей --- это и есть решение, а саму задачу надо так понимать: "вот теорема, попробуйте доказать сами, а если не получится --- так прочитайте решение в следующем пункте". (Только накрытие там несколько странно строится, с помощью склеивания "крестов". По моему, более естественно склеивать просто отрезки.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 02:18 


06/09/17
96
Москва
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 02:22 


17/04/18
102
vpb в сообщении #1319711 писал(а):
Решение там действительно другое, не через фактор по действию группы (что в данной ситуации было бы бессмысленно, поскольку читатель еще толком с фундаментальной группой не знаком), а прямо через построение универсального накрытия.

Построить универсальное накрытие это то же самое что задать на односвязном пространстве накрывающее действие и гомеоморфизм фактора по этому действию с тем пространством на котором строим. Построить действие или построить накрывающий морфизм - один и тот же набор данных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фундаментальная группа букета окружностей
Сообщение14.06.2018, 11:09 


06/09/17
96
Москва
Я примерно так ваше решение и понял. "Спасибо" относилось к разъяснению про то, как нужно читать данный учебник

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group