В книге сперва даётся это упражнение, а после приводится пример накрытия для двух окружностей, о котором вы как раз говорите. Думаю, решение предполагается другое
Решение там действительно другое, не через фактор по действию группы (что в данной ситуации было бы бессмысленно, поскольку читатель еще толком с фундаментальной группой не знаком), а прямо через построение универсального накрытия. (Т.е. рассуждение похоже на таковое для окружности, но несколько сложнее).
Что означает непонятная отсылка в решении --- не могу сказать, может быть, у меня, наверное, другое издание. В том издании, что у меня, решение --- это отсылка к одому из следующих пунктов в книжке. То есть пример букета двух окружностей --- это и есть решение, а саму задачу надо так понимать: "вот теорема, попробуйте доказать сами, а если не получится --- так прочитайте решение в следующем пункте". (Только накрытие там несколько странно строится, с помощью склеивания "крестов". По моему, более естественно склеивать просто отрезки.)