количество целых решений неравенства

[Alexoid]

Найдите число целых значений неравениства :$\sqrt{4-x}-\frac{2}{\sqrt{4-x}}\le1 ответ: 4, немогу понять Может у меня ошибка, вот ход решения:
ОДЗ: Х<4
Затем возводим в квадрат, еденицу в лево и упращаем в итоге получили:
$\frac{x^2-9x+18}{4-x}\le0 вводим ф-цию: y=$\frac{x^2-9x+18}{4-x};
D(y); x\neq4
y=0; x^2-9x+18=0 x1=6; x2=3
Основываясь на ОДЗ рассматриваем промежуток $x\in (-\infty;4)
Меньше 0 только промежуток от 3 до 4, 3- сплошная точка и является единственным решением.
т. е. мой ответ 1

[Профессор Снэйп]

Для начала решите неравенство

$$ y - \frac{2}{y} \leqslant 1 $$

при ограничении $y > 0$.

[Алексей К.]

Ну, и в процессе решения примера от Профессора, расскажите:

Alexoid писал(а):

Затем возводим в квадрат, еденицу в лево и упращаем в итоге получили:

По какому праву Вы всё это проделываете? Вам дали некое неравенство --- а Вы его курочите, еденицы перетаскиваете, в квадраты возводите, вроде как другое неравенство решаете... Попробуйте человеческими словами объяснить.

Возможно, эта беседа на близкую тему, Вас немного просветит.

[Alexoid]

Алексей К.
У меня назревает один воприсик вот завтра я решу этот проклятый примерчик, и думаю он у меня останется (воприсик), просто надо хорошенько подумать, а перед тем как подумать надо хорошо подумать стоит-ли вообще думать во как извените тавтологию - это влияние домашней среды обитания + дикое желание поскореи сдать экзамены

[Алексей К.]

Я припоминаю дикое желание (хоть как-то) сдать экзамены по истории (КПСС, в частности), философии, квантовой механике... А вот с этими задачками у меня было только дикое желание всё понять и научиться их щёлкать как орешки.
Возможно, несмотря на это различие, я завтра вполне пойму Ваш завтрашний вопросик...

[Alexoid]

Алексей К. писал(а):

возводя обе части $-2<1$ в квадрат, мы получаем чушь $4<1$. И делать такие штуки надо осторожно.

Т.е. получается, что возводя в квадрат область определения сужается и мы можем потереть корни, а возводя в квадратный корень(радикал), то область расширяется, тут проще корни преобретаются и лишние отбрасываются с помощью проверки или ОДЗ.
Вот решение:
1 способ )
....I ОДЗ: X<4
II ввож ф-цию: $y=\sqrt{4-x}-\frac{2}{\sqrt{4-x}}-1
y=0; $$y=\sqrt{4-x}-\frac{2}{\sqrt{4-x}}-1=0;
$t=\sqrt{4-x}; t\ge0; $t-\frac{2}{t}-1=0|*t
$t^2-t-2=0; t1=2; t2=-1;- не удовлетворяет условию t\ge0
Вернёмся к замене :$\sqrt{4-x}=2
4-x=2^2;
x=4-4=0;
Основываясь на ОДЗ Рассматриваем прямую где x\in(-\infty;4)
$y<0; x\in [0;4)
Ответ: 4 корня (0;1;2;3)

2 способ )
....I ОДЗ: X<4
II сначала всё упрощаем пишу - подробно
$(\sqrt{4-x}-\frac{2}{\sqrt{4-x}})^2\le 1^2
перенесём 1 влево:
$(4-x)-4+(\frac{4}{4-x})-1\le0; 4-x-4+\frac{4}{4-x}-1\le0
$\frac{4-4+x}{4-x}-x\le0
$\frac{x^2-4x+x}{4-x}\le0
ВВодим ф-цию: $y=\frac{x^2-3x}{4-x}\le0
D(y);$x\neq4
y=0; $x^2-3x=0; $x=0; $x=3
Основываясь на ОДЗ Рассматриваем прямую где x\in(-\infty;4)
$y<0; x\in [0;3]
Ответ: 4 корня (0;1;2;3)
если что не так поправте

[незваный гость]

Alexoid писал(а):

или $\sqrt{4-x}=-1$

Ой-ё-ёй!

Alexoid писал(а):

II сначала всё упрощаем пишу - подробно

Вам уже указали однажды, что возводить в квадрат неравенства нельзя!

[Alexoid]

Alexoid писал(а):

или $\sqrt{4-x}=-1$

Ой-ё-ёй!
а наверное когда заменяем $t=\sqrt{4-x}; то необходимо ограничение $t\ge0
тады t=-1 --- отбрасывается!!!!!
так

Добавлено спустя 14 минут 34 секунды:

незваный гость писал(а):

:evil:
Вам уже указали однажды, что возводить в квадрат неравенства нельзя!

Ну хорошо а такие неравенства почему возводим $\sqrt{\frac{x^2-7} {2x}}<\sqrt{3} или $\sqrt{\frac{15-10х}{x}}\le5 предворительно найдя ОДЗ и решаем как $\frac{x^2-7} {2x}<3 или $\frac{15-10х}{x}\le25
я просто пытаюсь восполнить пробел в знаниях, а то получается эти решай так, а эти так, но вед этому есть какое-то логическое объяснание

[Бодигрим]

Цитата:

Т.е. получается, что возводя в квадрат область определения сужается и мы можем потереть корни, а возводя в квадратный корень(радикал), то область расширяется, тут проще корни преобретаются и лишние отбрасываются с помощью проверки или ОДЗ.

Наоборот, именно при возведении в квадрат могут появиться новые корни: уравнение $x=1$ имеет один корень, а уравнение $x^2=1$ - уже два. С областью определения все тоже происходит с точностью до наоборот.

"Возводить в квадратный корень" - это пять! При взятии корня следует рассмотреть оба возможных варианта его значения, тогда ничего не теряется. То есть, решая $x^2=1$ следует записать совокупность из двух уравнений: $x=1$ и $x=-1$.

[Brukvalub]

Если на области определения неравенства обе его части неотрицательны, то возводить их в квадрат можно, иначе - нельзя. Все дело в том, что возведение в квадрат - это применение к частям неравенства функции

\[y = x^2 \]

, а эта функция монотонно возрастает только для неотрицательных значений х.

[Someone]

Alexoid писал(а):

незваный гость писал(а):

Вам уже указали однажды, что возводить в квадрат неравенства нельзя!

Ну хорошо а такие неравенства почему возводим $\sqrt{\frac{x^2-7} {2x}}<\sqrt{3} или $\sqrt{\frac{15-10х}{x}}\le5 предворительно найдя ОДЗ и решаем как $\frac{x^2-7} {2x}<3 или $\frac{15-10х}{x}\le25
я просто пытаюсь восполнить пробел в знаниях, а то получается эти решай так, а эти так, но вед этому есть какое-то логическое объяснание :?:

В данных неравенствах обе части в ОДЗ заведомо неотрицательны, поэтому при возведении в квадрат посторонние решения (при учёте ОДЗ) не появляются. В том же неравенстве, которое Вы возводите в квадрат, левая часть может быть отрицательной (например, при $x=3$), и из-за этого при возведении в квадрат могут появляться посторонние решения.

[Профессор Снэйп]

Чего все прицепились к возведению в квадрат? Здесь это делать не нужно.

Положим $y = \sqrt{4-x}$. Нужно решить неравенство

$$ y - \frac{2}{y} \leqslant 1 $$

при условии $y > 0$. А так как $y$ положителен, то обе части неравенства можно смело на него умножать, после чего получится неравенство

$$ y^2 - 2 \leqslant y $$

или

$$ y^2 - y - 2 \leqslant 0 $$

Как решать такие неравенства известно со школы.

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

Чего все прицепились к возведению в квадрат? Здесь это делать не нужно.

Да чего тут про замену переменной говорить - это же за высший пилотаж сейчас почитается!
Слышал, что в инструкции по проверке ЕГЫ (часть С) есть такой пункт:
Если при решении неравенства или уравнения ученик не нашёл ОДЗ, то независимо от остального им написанного, он получает 0 баллов за задачу.
Так что получите Профессор Снэйп 0 баллов за такое, с позволения сказать, решение.
Впрочем не расстраивайтесь, я бы получил ровно столько же.

Вот школьники и начинают с ОДЗ - нужно это или нет для данной конкретной задачи. Без труда можно привести массу примеров, где трезвомыслящему человеку вообще не должно прийти в голову выписывать неравенства, описывающие ОДЗ, а тем более их решать.

Приведу парочку:

1) $\sqrt{x^4+2008x^2-2008} > x^2$
Инструкция требует решения неравенства $x^4+2008x^2-2008 \ge 0$

2) $\sqrt{5\sin x - 1}=-\sqrt{6} \cos x$
Согласно инструкции, если ученик присоединит к этому уравнению его следствие $\cos x \le 0$, возведёт уравнение в квадрат, найдёт все его решения, подставит их в неравенство для отсева посторонних, он получит 0 баллов - он ведь не только не решал неравенство $5\sin x - 1 \ge 0$, но даже его и не выписывал.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Если при решении неравенства или уравнения ученик не нашёл ОДЗ, то независимо от остального им написанного, он получает 0 баллов за задачу.

Страшно!

Впрочем, школьные требования --- это отдельная грустная тема. Помню, как мне в школе не зачли решение неравенства из-за того, что в ответе у меня было написано

$$ x > 1 $$

вместо положенного по уставу

$$ x \in (1, +\infty) $$

[bot]

Наверно есть инструкция: если ученик не выписал множество решений, то задание не засчитывать
Ну дык Вы дошли до неравенства x>1 и с ним не справились.