Оценить возраст руды

[user27]

Подскажите, пожалуйста, как обосновать решение
Задача "В урановой руде отношение числа ядер $U^{238}$ к числу ядер $Pb^{206}$ составляет $n=2,8$. Оценить возраст руды, считая, что весь свинец $Pb^{206}$ является конечным продуктом распада уранового ядра. Период полураспада $U^{238}$ равен $4,5\cdot10^{9}$ лет."

Мое решение
Пусть исходное число ядер урана $K$
Количество нераспавшихся ядер за время $t$: $N=K\cdot \exp(-\lambda t)$
Количество распавшихся ядер за время $t$: $N'=K-K\cdot \exp(-\lambda t)$
Далее я говорю, что т.к. конечным продуктом распада является свинец, то $n=\frac{N}{N'}$
Но преподаватель не соглашается с тем что $N'$ - число ядер свинца.
Подскажите, пожалуйста, как доказать это или каким иным способом решать данную задачу?

[EUgeneUS]

Ход решения правильный. Но $\lambda$ - это не период полураспада. Возможно, с этим связаны претензии.

[rockclimber]

user27 в сообщении #1316075 писал(а):

Но преподаватель не соглашается с тем что $N'$ - число ядер свинца.

Ну правильно, вы же сами пишете, что это количество распавшихся ядер урана! А уран распадается на что?

[Pphantom]

rockclimber в сообщении #1316087 писал(а):

А уран распадается на что?

Все последующие распады в цепочке имеют периоды полураспада на порядки меньшие (рекорд сверху около $2 \cdot 10^5$ лет), так что ими с такой точностью можно пренебречь и считать, что уран сразу превращается в свинец.

[user27]

rockclimber в сообщении #1316087 писал(а):

user27 в сообщении #1316075 писал(а):

Но преподаватель не соглашается с тем что $N'$ - число ядер свинца.

Ну правильно, вы же сами пишете, что это количество распавшихся ядер урана! А уран распадается на что?

U^{238}_{92} \Rightarrow Pb^{206}_{82}+8He^{4}_{2}+6e^{0}_{-1}
Так?

EUgeneUS в сообщении #1316085 писал(а):

Ход решения правильный. Но $\lambda$ - это не период полураспада. Возможно, с этим связаны претензии.

$\lambda$ нахожу из периода полураспада $\dfrac{K}{2}=K \exp(-\lambda T_{\dfrac{1}{2}})$
к этой части решения вопросов не было

-- 30.05.2018, 00:39 --

Pphantom в сообщении #1316105 писал(а):

Все последующие распады в цепочке имеют периоды полураспада на порядки меньшие (рекорд сверху около $2 \cdot 10^5$ лет), так что ими с такой точностью можно пренебречь и считать, что уран сразу превращается в свинец.

Те мне нужно составить полную цепочку из всех этих 14 распадов и для всех из них привести данные о периодах полураспада?
$U^{238}_{92} \Rightarrow Th^{234}_{90} + He^{4}_{2}$
Период полураспада $Th^{234}_{90}$ 24 суток
И так далее до свинца?

[rockclimber]

Pphantom в сообщении #1316105 писал(а):

rockclimber в сообщении #1316087 писал(а):

А уран распадается на что?

Все последующие распады в цепочке имеют периоды полураспада на порядки меньшие (рекорд сверху около $2 \cdot 10^5$ лет), так что ими с такой точностью можно пренебречь и считать, что уран сразу превращается в свинец.

Правила форума запрещают давать полные ответы, вы разве не знаете? Я-то это знаю, просто мне показалось, что это именно то, что хотел услышать преподаватель. Кажется, в решении ТСа больше не к чему придраться.

-- 30.05.2018, 00:58 --

user27 в сообщении #1316110 писал(а):

Те мне нужно составить полную цепочку из всех этих 14 распадов

Откуда их 14? 5 вроде должно быть.

[Pphantom]

rockclimber в сообщении #1316130 писал(а):

Правила форума запрещают давать полные ответы, вы разве не знаете? Я-то это знаю, просто мне показалось, что это именно то, что хотел услышать преподаватель. Кажется, в решении ТСа больше не к чему придраться.

Э... ну возможно.

rockclimber в сообщении #1316130 писал(а):

Откуда их 14? 5 вроде должно быть.

Нет, все правильно, именно 14. Тоже, кстати, задача: если известно, что ${}^{238}\text{U}$ распался в ${}^{206}\text{Pb}$ за счет $\alpha$- и $\beta$-распадов, то отсюда можно однозначно восстановить, сколько их было (в отдельности и тех, и других).

[rockclimber]

Pphantom в сообщении #1316134 писал(а):

Нет, все правильно, именно 14.

А, точно. Не обратил внимания на массу свинца.

[user27]

А как мне понимать в каком порядке происходили $\alpha$ и $\beta$ распады?
$Th^{234}_{90}=He^{4}_{2}+Ra^{230}_{88}$
или
$Th^{234}_{90}=e^{0}_{-1}+Pa^{234}_{91}$
выбрать?
Есть же по-идее много цепочек распадов урана в свинец

[Pphantom]

user27 в сообщении #1316141 писал(а):

Есть же по-идее много цепочек распадов урана в свинец

Нет, это не так. Вариантов очень мало, фактически это одна цепочка с мелкими вариациями, которые не влияют на общий результат.

[user27]

Pphantom в сообщении #1316143 писал(а):

Нет, это не так. Вариантов очень мало, фактически это одна цепочка с мелкими вариациями, которые не влияют на общий результат.

Но хотя бы в этом случае, можно же и так и так?

user27 в сообщении #1316141 писал(а):

$Th^{234}_{90}=He^{4}_{2}+Ra^{230}_{88}$
или
$Th^{234}_{90}=e^{0}_{-1}+Pa^{234}_{91}$

[rockclimber]

user27 в сообщении #1316141 писал(а):

Есть же по-идее много цепочек распадов урана в свинец

По идее - много, но у вашего изотопа урана, например, только один путь - альфа-распад. Бета-распада у него нет. Возьмите справочник и посмотрите, вполне может оказаться, что цепочек всего 2 - 3. А то и вовсе одна.

-- 30.05.2018, 01:47 --

user27 в сообщении #1316144 писал(а):

Но хотя бы в этом случае, можно же и так и так?

user27 в сообщении #1316141 писал(а):

$Th^{234}_{90}=He^{4}_{2}+Ra^{230}_{88}$
или
$Th^{234}_{90}=e^{0}_{-1}+Pa^{234}_{91}$

А этот изотоп тория точно двумя путями может распадаться?

[Pphantom]

user27 в сообщении #1316144 писал(а):

Но хотя бы в этом случае, можно же и так и так?

Нет. Не буду утверждать, что вариант с $\alpha$-распадом совсем уж невозможен, но он заведомо намного менее вероятен, чем $\beta$-распад.

Собственно, почти у каждого ядра есть какой-то основной канал распада, который, кстати, в большинстве случаев можно "угадать", прикинув, с тяжелым или, наоборот, легким изотопом данного элемента Вы имеете дело (тяжелые склонны распадаться по $\beta$-каналу, легкие - по $\alpha$). И только в тех редких случаях, когда вероятности распада сравнимы, имеет смысл обсуждать оба варианта.

Кстати, заодно уж можно заметить, что вот тут

user27 в сообщении #1316141 писал(а):

$Th^{234}_{90}=e^{0}_{-1}+Pa^{234}_{91}$

и в аналогичных случаях раньше Вы потеряли еще один продукт распада - антинейтрино.

[user27]

Понял, спасибо
Нашел справочник в котором указаны вероятности распадов "Таблицы удельных активностей нуклидов" Ю. С. Попов
Для $\alpha$-распада $<10^{-4} \%$

[Pphantom]

user27 в сообщении #1316151 писал(а):

Для $\alpha$-распада $<10^{-4} \%$

Ну вот, и это для Вашей задачи означает, что его можно считать вообще отсутствующим.