Помогите изготовить полный дифференциал

[Ascold]

В связи с одним физическим вопросом topic127197.html возникла необходимость преобразовать
$dt-\alpha R\cdot(dz+\sh ydx)$. Здесь $R=R(t),\ \alpha=\operatorname{const}.$ Тогда, из-за наличия слагаемого $\sh ydx$ я прибавляю-вычитаю $dy$ и введу интегрирующий множитель $m=m(t,x,y,z).$ Пусть для простоты записей $\alpha=-1.$

$$dt-\alpha R(dz+\sh ydx)=\frac{1}{m}\left( mdt+mRdz+mR\sh ydx+mdy -mdy\right)=\frac{1}{m}\left( df\right)-dy.$$

Здесь $df=mdt+mRdz+mR\sh ydx+mdy.$ Приравнивая перекрёстные вторые производные от $f$, получаю систему уравнений(точка - производная по времени):

$$m'_x=(\dot{m}R+\dot{R}m)\sh y \quad (1)$$

$$m'_y=\dot{m} \quad (2)$$

$$m'_z=\dot{m}R+\dot{R}m \quad (3)$$

$$(m'_y\sh y+m\ch y)R=m'_x \quad (4)$$

$$m'_xR=m'_zR\sh y \quad (5)$$

$$m'_yR=m'_z. \quad (6)$$

И получается какая-то противоречивая ерунда. Что я делаю не так?

[Slav-27]

Ascold в сообщении #1315406 писал(а):

введу интегрирующий множитель

А кто сказал, что он есть?

Про формы от двух переменных есть теорема, которая говорит, что да, есть.

Если у незануляющейся 1-формы $\omega$ есть незануляющийся интегрирующий множитель, то $\omega\wedge d\omega=0$ -- докажите.