2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 14:57 


05/03/12
4
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, справиться с такой вот задачей:
Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0,  f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

Первое, что в голову приходит, это $e^{x}$, но первая производная, должна быть равна 0, при х=0. Тогда вроде как логично домножить на х. Причем, в какой-нибудь степени, чтобы в первой производной не вылезло ненулевое слагаемое $e^{x}$. Например, $x^{2}e^{x}$.
Тогда с нулем все хорошо. Но если взять х=-1, то второе условие не выполняется. Повышение степени у икса, "подгоняет" несколько первых производных под второе условие, но очевидно, что на производные более высоких порядков, чем степень икса, это не действует.
Думала еще у экспоненты степень менять, но тоже ничего путного не вышло. Страдания над синусами/косинусами плодов тоже не принесли. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Ограничения на икс есть? А то гиперболический косинус подойдет, если на полупрямой.
Увидел, что Вы там и минус один подставляли.
Цитата:
Страдания над синусами/косинусами плодов тоже не принесли

Если что-то и найдётся, то по условию оно должно быть монотонно возрастающим, выпуклым вниз, не иметь точек экстремума

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 15:25 
Заслуженный участник


05/08/14
1588
$e^x-x+C$?
$-\ln(1-x)-x+C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Кстати, вот здесь
schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):
$f'(0)=0,  f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

при $n=1$ сидит противоречие.

-- 27.05.2018, 18:29 --

При этом ещё первая производная должна монотонно возрастать, оставаясь больше нуля, но проходя через ноль.. Короче, сомнительно как-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 17:06 


05/06/17

87
При предположении, что $f$ определена в окрестности нуля:
так как $f'$ возрастает, то $f'(x)=0$ при $x\in(-a,0]$, $a>0$. Так как производные $f'$ сохраняют знак, то $f'$ должна быть аналитической функцией в окрестности нуля. Таким образом, $f\equiv const$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Mishka_Barni в сообщении #1315343 писал(а):
так как $f'$ возрастает, то $f'(x)=0$

Нет, ибо $f'(x)$ строго возрастает по условию $f''(x)>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 17:12 


05/06/17

87
Упс. :oops: Переклинило. Но если предполагать, что $f^{(n)}\geqslant0$, $n\in\mathbb{N}$, то отличной от константы функции не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение27.05.2018, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Тут либо убирать какое-то из условий на первую производную -- и тогда можно что-то подобрать (причём в этой теме уже проскочили оба подходящих в этом случае варианта), либо ответ -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 01:39 


05/03/12
4
thething в сообщении #1315330 писал(а):
Кстати, вот здесь
schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):
$f'(0)=0,  f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

при $n=1$ сидит противоречие.


Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 03:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
schimka_06 в сообщении #1315440 писал(а):
Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

Это относится ко всем производным или только к первой?.. Хотя неважно и всё равно вторая производная даст монотонность первой на участках $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$, т.е. ответ снова "нет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 06:02 


05/03/12
4
thething в сообщении #1315452 писал(а):
schimka_06 в сообщении #1315440 писал(а):
Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

Это относится ко всем производным или только к первой?.. Хотя неважно и всё равно вторая производная даст монотонность первой на участках $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$, т.е. ответ снова "нет".


Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 07:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
schimka_06
Все-таки что-то не так с постановкой задачи: бесконечная дифференцируемость невостребована совершенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):
Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0,  f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

$$0 > -f'(-1) = \dfrac{f'(0)-f'(-1)}{0-(-1)} = f''(t) > 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 12:52 


21/05/16
4292
Аделаида
TOTAL в сообщении #1315500 писал(а):
schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):
Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0,  f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

$$0 > -f'(-1) = \dfrac{f'(0)-f'(-1)}{0-(-1)} = f''(t) > 0$$

А если $t=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно дифференцируемая функция
Сообщение28.05.2018, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
kotenok gav в сообщении #1315506 писал(а):
А если $t=0$?

$0 > f''(t) \ge 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group