Бесконечно дифференцируемая функция

[schimka_06]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, справиться с такой вот задачей:
Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0, f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

Первое, что в голову приходит, это $e^{x}$, но первая производная, должна быть равна 0, при х=0. Тогда вроде как логично домножить на х. Причем, в какой-нибудь степени, чтобы в первой производной не вылезло ненулевое слагаемое $e^{x}$. Например, $x^{2}e^{x}$.
Тогда с нулем все хорошо. Но если взять х=-1, то второе условие не выполняется. Повышение степени у икса, "подгоняет" несколько первых производных под второе условие, но очевидно, что на производные более высоких порядков, чем степень икса, это не действует.
Думала еще у экспоненты степень менять, но тоже ничего путного не вышло. Страдания над синусами/косинусами плодов тоже не принесли.

[thething]

Ограничения на икс есть? А то гиперболический косинус подойдет, если на полупрямой.
Увидел, что Вы там и минус один подставляли.

Цитата:

Страдания над синусами/косинусами плодов тоже не принесли

Если что-то и найдётся, то по условию оно должно быть монотонно возрастающим, выпуклым вниз, не иметь точек экстремума

[dsge]

$e^x-x+C$?
$-\ln(1-x)-x+C$?

[thething]

Кстати, вот здесь

schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):

$f'(0)=0, f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

при $n=1$ сидит противоречие.

-- 27.05.2018, 18:29 --

При этом ещё первая производная должна монотонно возрастать, оставаясь больше нуля, но проходя через ноль.. Короче, сомнительно как-то.

[Mishka_Barni]

При предположении, что $f$ определена в окрестности нуля:
так как $f'$ возрастает, то $f'(x)=0$ при $x\in(-a,0]$, $a>0$. Так как производные $f'$ сохраняют знак, то $f'$ должна быть аналитической функцией в окрестности нуля. Таким образом, $f\equiv const$. Противоречие.

[thething]

Mishka_Barni в сообщении #1315343 писал(а):

так как $f'$ возрастает, то $f'(x)=0$

Нет, ибо $f'(x)$ строго возрастает по условию $f''(x)>0$

[Mishka_Barni]

Упс. Переклинило. Но если предполагать, что $f^{(n)}\geqslant0$, $n\in\mathbb{N}$, то отличной от константы функции не существует.

[thething]

Тут либо убирать какое-то из условий на первую производную -- и тогда можно что-то подобрать (причём в этой теме уже проскочили оба подходящих в этом случае варианта), либо ответ -- нет.

[schimka_06]

thething в сообщении #1315330 писал(а):

Кстати, вот здесь

schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):

$f'(0)=0, f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

при $n=1$ сидит противоречие.

Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

[thething]

schimka_06 в сообщении #1315440 писал(а):

Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

Это относится ко всем производным или только к первой?.. Хотя неважно и всё равно вторая производная даст монотонность первой на участках $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$, т.е. ответ снова "нет".

[schimka_06]

thething в сообщении #1315452 писал(а):

schimka_06 в сообщении #1315440 писал(а):

Дико извиняюсь, забыла к второму условию дописать $f^{n}(x)>0 $ при $x\ne0$

Это относится ко всем производным или только к первой?.. Хотя неважно и всё равно вторая производная даст монотонность первой на участках $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$, т.е. ответ снова "нет".

Спасибо!

[Otta]

schimka_06
Все-таки что-то не так с постановкой задачи: бесконечная дифференцируемость невостребована совершенно.

[TOTAL]

schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):

Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0, f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

$$0 > -f'(-1) = \dfrac{f'(0)-f'(-1)}{0-(-1)} = f''(t) > 0$$

[kotenok gav]

TOTAL в сообщении #1315500 писал(а):

schimka_06 в сообщении #1315290 писал(а):

Существует ли такая бесконечно дифференцируемая функция f, что для любого натурального числа n выполняется:
$f'(0)=0, f^{(n)} (x)>0 при х≠0. $

$$0 > -f'(-1) = \dfrac{f'(0)-f'(-1)}{0-(-1)} = f''(t) > 0$$

А если $t=0$?

[TOTAL]

kotenok gav в сообщении #1315506 писал(а):

А если $t=0$?

$0 > f''(t) \ge 0$