В задачнике(Демидович) относительно много упражнений на нахождения предела вида
![$\lim\limits_{x\to a}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$ $\lim\limits_{x\to a}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f31a083abc12b852c8ea13d1c738213582.png)
Они показались мне однотипными:
1. Если знаменатель в точке
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
не равен
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, то функция непрерывна в этой точке. Поэтому для вычисления предела достаточно вычислить значение функции в точке
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
2. Иначе если возможно сократить дробь на
![$(x-a)^k$ $(x-a)^k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faa0b88707a16a047466f9d5813b5f082.png)
так, чтобы знаменатель не обращался в 0, получается пункт 1.
Иначе в знаменателе останется множитель
![$(x-a)^l$ $(x-a)^l$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/a/d2a7c163f44b9adc95a261949c61311e82.png)
Если
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
- четное, то пределом будет
![$+\infty$ $+\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/701fa44621fd283e3f2c5468958859d882.png)
или
![$-\infty$ $-\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/5/1d5ba78bbbafd3226f371146bc34836382.png)
в зависимости от знака остального выражения в точке
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
Иначе предел не существует
![$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$ $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/6/126eb9b40508a6143b0c6b97657e038782.png)
Если степени числителя и знаменателя равны, то нужно поделить числитель и знаменатель на
![$x^n$ $x^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/4/ef4740140c8741b5abffcf442f79c1c782.png)
и предел будет равен
![$\frac{a_0}{b_0}$ $\frac{a_0}{b_0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/8/598faf57e45f8070346b84ff230d369282.png)
, иначе предел будет равен
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, если степень знаменателя больше, и
![$\infty$ $\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/a/f7a0f24dc1f54ce82fecccbbf48fca9382.png)
, если меньше.
Есть упражнения с усложнениями:
![$\lim\limits_{x \to 1}\frac{x+x^2+\dots+x^n-n}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1}(x^{n-1}+2x^{n-2}+\dots+(n-1)x+n) = \frac{n(n+1)}{2}$ $\lim\limits_{x \to 1}\frac{x+x^2+\dots+x^n-n}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1}(x^{n-1}+2x^{n-2}+\dots+(n-1)x+n) = \frac{n(n+1)}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/5/ab5a130080ec5b978548716048eda43782.png)
, но они как бы к сути дела не относятся.
Получается, что решать все упражнения такого типа нет необходимости или "усложнения" тоже важны?