2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите взять интеграл
Сообщение16.05.2018, 23:00 


26/05/13
16
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться - имеется следующий интеграл:
$$\int\limits_{0}^{T}\frac{\exp(-\frac{a}{T-t}-\frac{b}{t})}{(t(T-t))^{3/2}}dt$.

Я знаю, чему он равен, но никак не могу понять, как прийти к ответу:
\sqrt{\frac{\pi}{T^3}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\exp[-\frac{1}{T}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2].

Заранее благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 00:01 
Заслуженный участник


25/02/11
1580
Это свертка. Как вариант, попробовать преобразование Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 04:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
609
Арктика
А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 09:28 


26/05/13
16
Vince Diesel в сообщении #1312800 писал(а):
Это свертка. Как вариант, попробовать преобразование Лапласа.


Спасибо за идею - надо попробовать.

-- 17.05.2018, 10:29 --

thething в сообщении #1312817 писал(а):
А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов


Нет, не запрещено, спасибо за совет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 18:02 


26/05/13
16
thething в сообщении #1312817 писал(а):
А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов


Как я понимаю, вычеты можно применять при вычислении несобственных интегралов
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$$.
Однако, я не могу сообразить, какую использовать замену переменных, чтобы привести проблемный интеграл к этому виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
609
Арктика
igor144
Нет, вычеты я предлагал применить к исходному интегралу без замены переменных, используя теорию многозначных функций комплексной переменной. Контуром интегрирования является "гантель" с концами в точках $0$ и $T$. К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 22:33 


26/05/13
16
thething в сообщении #1312938 писал(а):
igor144
Нет, вычеты я предлагал применить к исходному интегралу без замены переменных, используя теорию многозначных функций комплексной переменной. Контуром интегрирования является "гантель" с концами в точках $0$ и $T$. К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.


К сожалению, у меня пока тоже нет никаких результатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение17.05.2018, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15531
Новомосковск
thething в сообщении #1312938 писал(а):
К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.
А что, подынтегральная функция на верхнем и нижнем берегах разреза имеет одинаковые значения? Вроде бы, при обходе особой точки аргумент изменяется на нечётное число $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение18.05.2018, 00:06 
Заслуженный участник


25/02/08
2907
igor144
Вам же сказали применить преобразование Лапласа. Учитывая, что $$L\frac{{{e^{ - \frac{a}{x}}}}}{{{x^{3/2}}}} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }}$$, получаем
$$L\int\limits_0^T {\frac{{{e^{ - \frac{a}{{T - t}}}}{e^{ - \frac{b}{t}}}}}{{{{(T - t)}^{3/2}}{t^{3/2}}}}dt}  = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{b}} {e^{ - 2\sqrt {b\lambda } }} = \frac{\pi }{{\sqrt {ab} }}{e^{ - 2(\sqrt {a\lambda }  + \sqrt {b\lambda } )}}$$
Обратное преобразование даёт $$\sqrt {\frac{\pi }{{ab{T^3}}}} (\sqrt a  + \sqrt b ){e^{ - \frac{{{{(\sqrt a  + \sqrt b )}^2}}}{T}}}$$
P.S. Тут есть вообще финт - исходный интеграл - это с точностью до нормировочных констант свёртка двух распределений Леви-Смирнова. Но это устойчивый закон, значит и распределение суммы с.в. будет подчинятся ему же (с другими параметрами, конечно). И причём отлично известно, как именно они изменяются.

(Оффтоп)

Пофикшена опечатка в функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение18.05.2018, 10:08 


26/05/13
16
Ms-dos4 в сообщении #1313017 писал(а):
igor144
Вам же сказали применить преобразование Лапласа. Учитывая, что $$L\frac{{{e^{ - \frac{a}{x}}}}}{{{x^{3/2}}}} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }}$$, получаем
$$L\int\limits_0^T {\frac{{{e^{ - \frac{a}{{T - t}}}}{e^{ - \frac{b}{t}}}}}{{{{(T - t)}^3}{t^3}}}dt}  = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{b}} {e^{ - 2\sqrt {b\lambda } }} = \frac{\pi }{{\sqrt {ab} }}{e^{ - 2(\sqrt {a\lambda }  + \sqrt {b\lambda } )}}$$
Обратное преобразование даёт $$\sqrt {\frac{\pi }{{ab{T^3}}}} (\sqrt a  + \sqrt b ){e^{ - \frac{{{{(\sqrt a  + \sqrt b )}^2}}}{T}}}$$
P.S. Тут есть вообще финт - исходный интеграл - это с точностью до нормировочных констант свёртка двух распределений Леви-Смирнова. Но это устойчивый закон, значит и распределение суммы с.в. будет подчинятся ему же (с другими параметрами, конечно). И причём отлично известно, как именно они изменяются.


Огромное спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group