Помогите взять интеграл

[igor144]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться - имеется следующий интеграл:
$$\int\limits_{0}^{T}\frac{\exp(-\frac{a}{T-t}-\frac{b}{t})}{(t(T-t))^{3/2}}dt$.

Я знаю, чему он равен, но никак не могу понять, как прийти к ответу:
\sqrt{\frac{\pi}{T^3}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\exp[-\frac{1}{T}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2].

Заранее благодарен!

[Vince Diesel]

Это свертка. Как вариант, попробовать преобразование Лапласа.

[thething]

А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов

[igor144]

Vince Diesel в сообщении #1312800 писал(а):

Это свертка. Как вариант, попробовать преобразование Лапласа.

Спасибо за идею - надо попробовать.

-- 17.05.2018, 10:29 --

thething в сообщении #1312817 писал(а):

А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов

Нет, не запрещено, спасибо за совет!

[igor144]

thething в сообщении #1312817 писал(а):

А можно (если, конечно это не запрещено на данном этапе) попробовать при помощи вычетов

Как я понимаю, вычеты можно применять при вычислении несобственных интегралов

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$$

.
Однако, я не могу сообразить, какую использовать замену переменных, чтобы привести проблемный интеграл к этому виду.

[thething]

igor144
Нет, вычеты я предлагал применить к исходному интегралу без замены переменных, используя теорию многозначных функций комплексной переменной. Контуром интегрирования является "гантель" с концами в точках $0$ и $T$. К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.

[igor144]

thething в сообщении #1312938 писал(а):

igor144
Нет, вычеты я предлагал применить к исходному интегралу без замены переменных, используя теорию многозначных функций комплексной переменной. Контуром интегрирования является "гантель" с концами в точках $0$ и $T$. К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.

К сожалению, у меня пока тоже нет никаких результатов.

[Someone]

thething в сообщении #1312938 писал(а):

К сожалению, меня этот путь привел к нулевому ответу (пока не додумался, почему так), так что, видимо, это тупик.

А что, подынтегральная функция на верхнем и нижнем берегах разреза имеет одинаковые значения? Вроде бы, при обходе особой точки аргумент изменяется на нечётное число $\pi$.

[Ms-dos4]

igor144
Вам же сказали применить преобразование Лапласа. Учитывая, что

$$L\frac{{{e^{ - \frac{a}{x}}}}}{{{x^{3/2}}}} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }}$$

, получаем

$$L\int\limits_0^T {\frac{{{e^{ - \frac{a}{{T - t}}}}{e^{ - \frac{b}{t}}}}}{{{{(T - t)}^{3/2}}{t^{3/2}}}}dt} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{b}} {e^{ - 2\sqrt {b\lambda } }} = \frac{\pi }{{\sqrt {ab} }}{e^{ - 2(\sqrt {a\lambda } + \sqrt {b\lambda } )}}$$

Обратное преобразование даёт

$$\sqrt {\frac{\pi }{{ab{T^3}}}} (\sqrt a + \sqrt b ){e^{ - \frac{{{{(\sqrt a + \sqrt b )}^2}}}{T}}}$$

P.S. Тут есть вообще финт - исходный интеграл - это с точностью до нормировочных констант свёртка двух распределений Леви-Смирнова. Но это устойчивый закон, значит и распределение суммы с.в. будет подчинятся ему же (с другими параметрами, конечно). И причём отлично известно, как именно они изменяются.

(Оффтоп)

Пофикшена опечатка в функции

[igor144]

Ms-dos4 в сообщении #1313017 писал(а):

igor144
Вам же сказали применить преобразование Лапласа. Учитывая, что

$$L\frac{{{e^{ - \frac{a}{x}}}}}{{{x^{3/2}}}} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }}$$

, получаем

$$L\int\limits_0^T {\frac{{{e^{ - \frac{a}{{T - t}}}}{e^{ - \frac{b}{t}}}}}{{{{(T - t)}^3}{t^3}}}dt} = \sqrt {\frac{\pi }{a}} {e^{ - 2\sqrt {a\lambda } }} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{b}} {e^{ - 2\sqrt {b\lambda } }} = \frac{\pi }{{\sqrt {ab} }}{e^{ - 2(\sqrt {a\lambda } + \sqrt {b\lambda } )}}$$

Обратное преобразование даёт

$$\sqrt {\frac{\pi }{{ab{T^3}}}} (\sqrt a + \sqrt b ){e^{ - \frac{{{{(\sqrt a + \sqrt b )}^2}}}{T}}}$$

P.S. Тут есть вообще финт - исходный интеграл - это с точностью до нормировочных констант свёртка двух распределений Леви-Смирнова. Но это устойчивый закон, значит и распределение суммы с.в. будет подчинятся ему же (с другими параметрами, конечно). И причём отлично известно, как именно они изменяются.

Огромное спасибо за помощь!