2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 10:59 


31/05/11
117
Доброго времени суток! Изучая теорию СДУ возник следующий вопрос:

Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

По свойствам стохастического интеграла имеем, что

$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Возникает вопрос, если $g$ - непрерывная функция, то как проверить, что мат ожидание можно внести под знак интеграла? т.e.

$\mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right] = \int \mathbb{E}[g(X_s, s)^2] ds $

Теорема Фубини требует, чтобы $g$ была измеримой на пространстве $[0, t] \times \Omega$. Но как выяснить измеримость, если сам процесс $X_t$ неизвестен?

Заранее благодарю за ответы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 11:20 
Заслуженный участник


05/08/14
1414
mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Что-то тут не так, либо слева дисперсия. либо справа что-то другое.
mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
если сам процесс $X_t$ неизвестен?

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

Это СДУ является обозначением некоторого интеграла, тогда можно показать, что $X_t$ будет измеримым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 11:44 


31/05/11
117
dsge в сообщении #1312641 писал(а):
mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Что-то тут не так, либо слева дисперсия. либо справа что-то другое.
mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
если сам процесс $X_t$ неизвестен?

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):
Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

Это СДУ является обозначением некоторого интеграла, тогда можно показать, что $X_t$ будет измеримым.


Да, вы правы, это дисперсия, опечатка.

Как я понимаю, по такому же принципу мы заключаем, что

$\mathbb{E}[X_t] = \int \mathbb{E}[f(X_s, s)] ds$

и

$\mathbb{E} \left[\int g(X_s, s) dB_s \right] = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 12:14 
Заслуженный участник


05/08/14
1414
mak1610 в сообщении #1312649 писал(а):
$\mathbb{E} \left[\int g(X_s, s) dB_s \right] = 0$

Можно еще представить внутренний интеграл как предел интегральных сумм, каждое слагаемое в этих суммах будет случайная величина с нулевым матожиданием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 15:09 


31/05/11
117
Хорошо, тогда такой вопрос. Я еще видел такое определение стохастического интеграла. Производная от Броуновсого движения определяется как обобщенная производная в смысле Швацра и интеграл

$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

т.е. подразумевается, что функция $f(t)$ дифференцируема. Но тогда вопрос:

Как понимать интеграл в таком интегральном уравнении

$X_t = \int X_s dB_s$?

Ведь производная от $X_s$ может и не существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 22:09 
Заслуженный участник


05/08/14
1414
mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):
Я еще видел такое определение стохастического интеграла

Лучше привести источник.
mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):
$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Интеграл Ито является определенным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стохастический интеграл, свойства
Сообщение16.05.2018, 22:41 


31/05/11
117
dsge в сообщении #1312769 писал(а):
mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):
Я еще видел такое определение стохастического интеграла

Лучше привести источник.
mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):
$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Интеграл Ито является определенным.


Да, разумеется, что интеграл определенный. Опустил пределы интегрирования, тк они не имеют значения.

Этот интеграл (2.1.15) из Оксендаль "Stochastic partial differential equations". Не знаю, есть ли перевод этой книги. Тут попытка обобщить интегрирование по Броуновскому движению на несколько переменных. Вот и вопрос, было бы разумно, что этот интеграл в случае 1 переменной должно согласовываться с обычным интегралом. Вот по этому и возник вопрос, как вообще работать с таким определением в случае, когда мы рассматриваем

$X_t = \int_0^t X_s dB_s$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group