Стохастический интеграл, свойства

[mak1610]

Доброго времени суток! Изучая теорию СДУ возник следующий вопрос:

Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

По свойствам стохастического интеграла имеем, что

$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Возникает вопрос, если $g$ - непрерывная функция, то как проверить, что мат ожидание можно внести под знак интеграла? т.e.

$\mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right] = \int \mathbb{E}[g(X_s, s)^2] ds $

Теорема Фубини требует, чтобы $g$ была измеримой на пространстве $[0, t] \times \Omega$. Но как выяснить измеримость, если сам процесс $X_t$ неизвестен?

Заранее благодарю за ответы!

[dsge]

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Что-то тут не так, либо слева дисперсия. либо справа что-то другое.

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

если сам процесс $X_t$ неизвестен?

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

Это СДУ является обозначением некоторого интеграла, тогда можно показать, что $X_t$ будет измеримым.

[mak1610]

dsge в сообщении #1312641 писал(а):

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

$\mathbb{E}[X_t] = \mathbb{E}\left[\int g(X_s, s)^2 ds \right]$

Что-то тут не так, либо слева дисперсия. либо справа что-то другое.

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

если сам процесс $X_t$ неизвестен?

mak1610 в сообщении #1312633 писал(а):

Рассмотрим следующее СДУ
$d X_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, dt) dB_t$

Это СДУ является обозначением некоторого интеграла, тогда можно показать, что $X_t$ будет измеримым.

Да, вы правы, это дисперсия, опечатка.

Как я понимаю, по такому же принципу мы заключаем, что

$\mathbb{E}[X_t] = \int \mathbb{E}[f(X_s, s)] ds$

и

$\mathbb{E} \left[\int g(X_s, s) dB_s \right] = 0$

[dsge]

mak1610 в сообщении #1312649 писал(а):

$\mathbb{E} \left[\int g(X_s, s) dB_s \right] = 0$

Можно еще представить внутренний интеграл как предел интегральных сумм, каждое слагаемое в этих суммах будет случайная величина с нулевым матожиданием.

[mak1610]

Хорошо, тогда такой вопрос. Я еще видел такое определение стохастического интеграла. Производная от Броуновсого движения определяется как обобщенная производная в смысле Швацра и интеграл

$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

т.е. подразумевается, что функция $f(t)$ дифференцируема. Но тогда вопрос:

Как понимать интеграл в таком интегральном уравнении

$X_t = \int X_s dB_s$?

Ведь производная от $X_s$ может и не существовать.

[dsge]

mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):

Я еще видел такое определение стохастического интеграла

Лучше привести источник.

mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):

$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Интеграл Ито является определенным.

[mak1610]

dsge в сообщении #1312769 писал(а):

mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):

Я еще видел такое определение стохастического интеграла

Лучше привести источник.

mak1610 в сообщении #1312695 писал(а):

$\int f(t) d B_t = (-1) \int B_t \frac{\partial f}{\partial t} dt$

Интеграл Ито является определенным.

Да, разумеется, что интеграл определенный. Опустил пределы интегрирования, тк они не имеют значения.

Этот интеграл (2.1.15) из Оксендаль "Stochastic partial differential equations". Не знаю, есть ли перевод этой книги. Тут попытка обобщить интегрирование по Броуновскому движению на несколько переменных. Вот и вопрос, было бы разумно, что этот интеграл в случае 1 переменной должно согласовываться с обычным интегралом. Вот по этому и возник вопрос, как вообще работать с таким определением в случае, когда мы рассматриваем

$X_t = \int_0^t X_s dB_s$