Выяснить в каком смысле последовательность сходится

[hollo]

На $C[0,1]$ определены ${x_n}$
$x_n(t^2)=nt$ при $t\leqslant\frac{1}{n}$
$x_n(t^2)=1$ при $t>\frac{1}{n}$
Метрика $\rho(f,g)=\max\limits_{0\leqslant t \leqslant 1}\left\lvert f(t) - g(t) \right\rvert$

Что делать если бы было $x_n(t)$ понятно
$x_n$ сходится к $y_n(t)=1$
$\rho(x_n,y_n)=\max\limits_{0\leqslant t \leqslant 1}\left\lvert nt-1 \right\rvert=1$ и сходимости нет

НО меня смущает квадрат в $x_n(t^2)$. Как рассмотреть сходимость для данного случая?

[Otta]

hollo
А что мешает написать, чему равна $x_n(t)$?
Надо выяснить сходимость этой последовательности или все же $x_n(t^2)$?

[hollo]

Otta

Otta в сообщении #1312219 писал(а):

А что мешает написать, чему равна $x_n(t)$?

Ничего, я даже понимаю как.

Otta в сообщении #1312219 писал(а):

Надо выяснить сходимость этой последовательности или все же $x_n(t^2)$?

Да, нужно именно для $x_n(t^2)$

[thething]

hollo
Ну, положите $t^2=\tau$

-- 14.05.2018, 13:00 --

Добавлю, что здесь мы имеем всего лишь семейство непрерывных функций, заданных параметрически, типа $\left\{ \begin{array}{rcl} x=t^2\\ y=t \\ \end{array} \right.$, $t\in[0,1]$

Избавившись от параметра, получим привычное задание функции $y(x)=\sqrt x$, $x\in[0,1]$. Но по факту это одна и та же функция.

[hollo]

thething
итого получаем
$x_n(\tau)=n\sqrt{\tau}$ при $\tau \leqslant \frac{1}{n}$
$x_n(\tau)=1$ при $\tau > \frac{1}{n} $
$\rho(x_n,y_n)=\max\limits_{0 \leqslant \tau \leqslant 1} \left\lvert n\sqrt{\tau} -1 \right\rvert =1 $ и сходимости тоже нет?

[thething]

Внимательно с ограничениями будьте, как теперь меняется тау?

И вот эта запись странная у Вас

hollo в сообщении #1312289 писал(а):

$\rho(x_n,y_n)=\max\limits_{0 \leqslant \tau \leqslant 1} \left\lvert n\sqrt{\tau} -1 \right\rvert =1 $

отрезок другой поставьте что ли.

[hollo]

thething в сообщении #1312290 писал(а):

Внимательно с ограничениями будьте, как теперь меняется тау?

Вместо $n$ нужно $n^2$
то есть $\tau \leqslant \frac{1}{n^2}$
и $\tau > \frac{1}{n^2}$

thething в сообщении #1312290 писал(а):

трезок другой поставьте что ли.

$\rho(x_n,y_n)=\max\limits_{0 \leqslant \sqrt{\tau} \leqslant 1} \left\lvert n\sqrt{\tau} -1 \right\rvert =1 $

[thething]

hollo в сообщении #1312294 писал(а):

$\rho(x_n,y_n)=\max\limits_{0 \leqslant \sqrt{\tau} \leqslant 1} \left\lvert n\sqrt{\tau} -1 \right\rvert =1 $

Да тау-то правильно менялось, другое дело, что максимум Вы должны искать только на части отрезка $[0,1]$.

Или на всём отрезке, но от другой функции, заданной при помощи фигурной скобочки.

А сейчас у Вас получается, что на всем отрезке функция $x_n(\tau)-y(\tau)$ равна $n\sqrt \tau -1$

[hollo]

thething в сообщении #1312295 писал(а):

Да тау-то правильно менялось, другое дело, что максимум Вы должны искать только на части отрезка $[0,1]$

Кажется понял, от $0$ до $\frac{1}{n}$

И еще такой вопрос:
Что делать с $x(t),x(t^2)...x(t^n)$ в левой части - понял. Но в теории может быть и что-то такое
$x_n^n(t^n)=nt $ при $t\leqslant \frac{1}{n}$
$x_n^n(t^n)=1 $ при $t > \frac{1}{n}$
и как поступать в такой ситуации?

UPD

[thething]

hollo в сообщении #1312296 писал(а):

Кажется понял, от $0$ до $\frac{1}{n}$

не совсем

hollo в сообщении #1312296 писал(а):

как поступать в такой ситуации?

А что в этой ситуации такого нового по сравнению с предыдущей? Верхний индекс у икса?

[hollo]

thething в сообщении #1312298 писал(а):

не совсем

Включая концы

thething в сообщении #1312298 писал(а):

А что в этой ситуации такого нового по сравнению с предыдущей? Верхний индекс у икса?

$x_n^n$ степень добавилась

[thething]

hollo в сообщении #1312302 писал(а):

$x_n^n$ степень добавилась

Такой записи ни разу не встречал, обычно в такого типа задачах икс -- это элемент пространства и какой смысл решать какое-то уравнение, чтобы элемент этот найти.. Ну извлеките корень $n-$й степени, а потом как обычно.

hollo в сообщении #1312302 писал(а):

Включая концы

Да просто как меняется $\tau$ там, где функция ненулевая? Или Вы про корень из тау рассуждаете?

[hollo]

thething в сообщении #1312303 писал(а):

Или Вы про корень из тау рассуждаете?

Да, про корень.

[DeBill]

hollo в сообщении #1312215 писал(а):

$x_n$ сходится к $y_n(t)=1$

А Вы заметили, что фигня это какая-то неправда это?
Как это: последовательность сходится к последовательности???
Вы, видимо, у "игрека" индекс по ошибке присобачили.
Но, даже если - так, то все равно - неправда: посмотрите на предел в точке $t=0$ : не равен он 1...
Так что и супремум надо искать - поаккуратнее.

[thething]

Вот меня кстати ещё смутила постановка вопроса, означенного в заголовке темы.. Ну пусть в $C[0,1]$ не сходится, но надо ли отвечать "в каком смысле сходится"?

(Оффтоп)

В принципе даже без супремума можно обойтись, если вспомнить теорему из матанализа насчет равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций