условие положительности многочлена на отрезке

[VitDer]

Добрый вечер! Долго пытаюсь понять один вопрос.

Имеется полином от одной переменной $P_n(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+...+a_n$. Требуется, чтобы его коэффициенты $a_0, a_1,...,a_n$ были такими, чтобы на отрезке $[0;1]$ полином $P_n(x)>0$ - т.е. был строго положительным. Какому условию должны удовлетворять его коэффициенты?

Существует теорема Лагранжа об оценке промежутка корней полинома (по значениям коэффициентов), но оценка эта может быть очень грубой. А мне даже подойдёт, если за пределами $[0;1]$ полином хоть всюду будет отрицательный.

[DeBill]

Смотрите в Вики: ряд Штурма (условия $a_n>0$ плюс "нет корней на отрезке" равносильно положительности...)

[VitDer]

Через отделение корней можно, но это алгоритмы, которые позволяют уже "по факту" установить, есть ли на отрезке [0;1] корни или нет. А вот если бы условие, которому должны удовлетворять коэффициенты, чтобы полиному быть на отрезке более 0 ...

[iifat]

По какому такому «факту»? Вы посмотрели ряды Штурма?

[VitDer]

По теореме Штурма получается, что нужно составить последовательность
$P(x), P(x)', -P(x)+P(x)'q_1(x),-(-P(x)+P(x)'q_1(x))+(-P(x)+P(x)'q_1(x))'q_2(x),...,C $, где $C$ - константа.

После этого необходимо посчитать число перемен знака $N_0$ этой последовательности при $x=0$, и число перемен знака $N_1$ при $x=1$.

Тогда число корней $ = N_0-N_1$.

Всё бы ничего, если бы можно было расписать $q_1(x), q_2(x) ...$ через коэффициенты полинома в общем случае. А так эти функции-многочлены нужно индивидуально находить в каждом конкретном случае.

[arseniiv]

Почему нельзя в общем? Просто формулы будут очень громоздкими. Ну так ответы на некоторые задачи нельзя упростить.

[iifat]

VitDer в сообщении #1310774 писал(а):

нужно составить последовательность

Вы ещё забыли предварительный шаг — поделить на НОД многочлена и производной, для исключения кратных корней.

VitDer в сообщении #1310774 писал(а):

если бы можно было расписать

Вы таки желаете странного.
Есть вычисления простые — их можно записать формулой.
Есть вычисления посложнее — их можно описать алгоритмом.
Есть пограничные случаи — ну, не знаю, формулы корней многочлена третьей-четвёртой степени, например. Можно, подозреваю, записать формулой от коэффициентов, но проще, короче и понятнее таки алгоритмом.
Если ваша задача — что-то вычислить, то принципиальной разницы не понимаю.

arseniiv в сообщении #1310790 писал(а):

Почему нельзя в общем?

Эээ... Вы, по-моему, погорячились.

[VitDer]

iifat в сообщении #1310892 писал(а):

Вы ещё забыли предварительный шаг — поделить на НОД многочлена и производной, для исключения кратных корней.

Да, конечно, кратные корни нужно будет исключить, но это будет понятно по последнему ненулевому члену ряда.

iifat в сообщении #1310892 писал(а):

Вы таки желаете странного.
Есть вычисления простые — их можно записать формулой.
Есть вычисления посложнее — их можно описать алгоритмом.
Есть пограничные случаи — ну, не знаю, формулы корней многочлена третьей-четвёртой степени, например. Можно, подозреваю, записать формулой от коэффициентов, но проще, короче и понятнее таки алгоритмом.
Если ваша задача — что-то вычислить, то принципиальной разницы не понимаю.

Просто если возникает задача, например, условной оптимизации ... Тогда то и нужно неравенство, которому должны удовлетворять коэффициенты, чтобы полином был положительным на отрезке.

Например, если полином положительный на отрезке, то он представим в виде ... Причём любой другой полином (не положительный на этом отрезке) уже не представим в этом виде. Наподобие этого ...

[grizzly]

VitDer в сообщении #1310921 писал(а):

Например, если полином положительный на отрезке, то он представим в виде ... Причём любой другой полином (не положительный на этом отрезке) уже не представим в этом виде. Наподобие этого ...

Похоже, Вы чего-то не понимаете. Вы выше говорили, что Вас не устраивают приближённые значения корней, а нужно как-то точно. Это означает, что Ваша задача равносильна такой: по коэффициентам произвольного многочлена указать с предельной точностью его корни. Правильно?

[mihiv]

Можно много разных достаточных условий придумать. Например: $a_n>\sum \limits _{i=0}^{n-1}|a_i|$.

[VitDer]

grizzly в сообщении #1310936 писал(а):

Похоже, Вы чего-то не понимаете. Вы выше говорили, что Вас не устраивают приближённые значения корней, а нужно как-то точно. Это означает, что Ваша задача равносильна такой: по коэффициентам произвольного многочлена указать с предельной точностью его корни. Правильно?

Сами по себе корни интереса не представляют. Важно, найти условие, при котором коэффициенты полинома были такими, чтобы он на отрезке $[0;1]$ был строго выше нуля. Причём условие должно быть справедливым только для тех полиномов, которые положительны на этом отрезке, и несправедливым ни для каких других.

-- 08.05.2018, 17:24 --

mihiv в сообщении #1310948 писал(а):

Можно много разных достаточных условий придумать. Например: $a_n>\sum \limits _{i=0}^{n-1}|a_i|$.

Можно ещё проще $a_i\geqslant0 (i>0),$a_0>0 $. Однако это ведь не означает, что данное условие включает ВСЕ полиномы, положительные на отрезке $[0;1]$. А нужно то именно ВСЕ

[grizzly]

VitDer в сообщении #1311015 писал(а):

Сами по себе корни интереса не представляют.

grizzly в сообщении #1310936 писал(а):

Вы чего-то не понимаете.

-- 08.05.2018, 17:36 --

Самое время попросить привести собственные попытки решения (по правилам форума). Иначе невозможно оценить уровень базовых знаний ТС.

[Mishka_Barni]

Вряд ли можно найти какой-то критерий положительности на отрезке в общем виде. Разве что он сам будет довольной общий, как для неотрицательных многочленов на всей оси (можно и для отрезка критерий выписать) -- представимость в виде суммы квадратов. Отсюда разве что дикую систему уравнений на коэффициенты можно получить.

Можно ещё многочлены нормировать, затем при каждом $n=1,2,3,4$ найти множества коэффициентов многочленов положительных на отрезке и понять что это (поиск "условий") пустая затея...

[VitDer]

На самом деле, такая задача решаема - но для всей числовой оси, и следовательно, только для полиномов чётных степеней. Наткнулся на такое решение http://mathkonspekt.blogspot.ru/2013/03/blog-post.html. А для отрезка полином может быть и нечётным ... Простой пример: $x^3+1$ положителен на $[0;1]$

[arseniiv]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1310892 писал(а):

Эээ... Вы, по-моему, погорячились.

Не, почему, результат любого алгоритма (для простоты будем считать, что он всегда завершается) можно записать формулой, если ввести достаточно определений. Иногда даже довольно хорошей (какие-нибудь характеристические функции туда засунуть, скобки Айверсона, взятие произвольного коэффициента ряда и прочее), но всё равно не более полезной, чем алгоритм.