Как Золушке выполнить приказ Мачехи?

[Ktina]

(И в такую непогоду
Нужно выполнить приказ:
Пить весь день как лошадь воду,
Не сводя с границы глаз!)

............................................................

Мачеха приказала Золушке сшить квадратное одеяло как можно меньшего размера из пяти прямоугольных кусков так, чтобы длины сторон всех кусков были попарно различны и составляли целое число дюймов. Сможет ли Золушка выполнить задание без помощи феи-крестной?

[PETIKANTROP]

Если я правильно поняла "попарность" целочисленного различия длин, то куски имеют размеры: 1*2, 1*4, 1*5, 2*3, 2*4

[gris]

Мне показалось, что все размеры кусков должны быть разными. Подcказка не в крёстной, конечно, а в том, что Золушка это "злое ушко", и поэтому несчастна в квадрате. То есть размер одеяла $13\times 13= 1\times 2 + 3\times 8 + 4\times 5 + 6\times 10 + 7\times 9$

[Sender]

$\begin{tikzpicture}\draw (0,0)--(0,11)--(11,11)--(11,0)--(0,0);\draw(0,2)--(10,2);\draw(10,0)--(10,5);\draw(11,5)--(3,5);\draw(3,11)--(3,2);\end{tikzpicture}$
10x2,6x1,8x5,9x3,7x4. Всё-таки злой рок не довлеет над Золушкой.
Размер 11, меньше никак.

[Ktina]

Sender
У меня тоже получилось, 11:

Как доказать, что 10 нельзя?

[Sender]

Ktina в сообщении #1310401 писал(а):

Как доказать, что 10 нельзя?

Известно как: у нас 10 различных натуральных чисел, значит среди них имеется не меньшее 10. Если мы хотим получить конфигурацию со стороной 10, один прямоугольник должен занимать всю сторону квадрата, отсекая от него другой прямоугольник, который необходимо составить из четырёх. Осталось показать, что никакое разбиение прямоугольника на 4 не удовлетворяет требованию различности сторон.

[PETIKANTROP]

Люди добрые, что такое попарно различные? Где точное математическое определение? Где это применяется? Чем это отличается от все различны?

Насчет условий задачи. Мне кажется, для ясности и понятности термин "длины" (сторон прямоугольников) нужно заменить на "высоты", т.к. длина прямоугольника - это более длинная сторона, а более короткая - ширина.
Я бы лично переформулировала

Ktina в сообщении #1310361 писал(а):

чтобы длины сторон всех кусков были попарно различны

так:
чтобы высоты всех кусков были различны...
или
чтобы дины и ширины всех кусков были различны...

[Ktina]

PETIKANTROP

Ktina в сообщении #1261118 писал(а):

Попарно различные цифры - это цифры, среди которых нет двух одинаковых.
Например, цифры 1, 1 и 2 различны, но не попарно различны.

-- 01.11.2017, 11:08 --

А цифры 1, 2 и 3 попарно различны.

-- 07.05.2018, 00:56 --

Sender
Большое спасибо!

-- 07.05.2018, 00:57 --

Правда, осталось не совсем ясным, как

Sender в сообщении #1310402 писал(а):

...показать, что никакое разбиение прямоугольника на 4 не удовлетворяет требованию различности сторон.

[PETIKANTROP]

Ktina в сообщении #1310582 писал(а):

PETIKANTROP

Ktina в сообщении #1261118 писал(а):

Попарно различные цифры - это цифры, среди которых нет двух одинаковых.
Например, цифры 1, 1 и 2 различны, но не попарно различны.

-- 01.11.2017, 11:08 --

А цифры 1, 2 и 3 попарно различны.

Приведите ссылку на определение "попарно различный" и применение этого термина в МАТЕМАТИКЕ!

"различный" имеет два значения:

Цитата:

1. неодинаковый, отличающийся ◆ Отгадать — это значит понять признаки умалчиваемого предмета, установить между двумя различными предметами или явлениями родственные связи. В. В. Коржан, «Есенин и народная поэзия», 1969 г.
2. разнообразный ◆ При работе нефтяных скважин на их дне скапливается различный мусор, который нужно удалять. «Наука и жизнь», 2008 г.

Что Вам мешает избавиться от лишних нагромождений в формулировках ТОЛЬКО Ваших задач и употребить слово - синоним первого значения "различный" - РАЗНЫЙ,
чтобы высоты всех кусков были разные...
или
чтобы длины и ширины всех кусков были разные?

[gris]

В Теории Вероятностей применяется и во многих учебниках определяется термин "попарная независимость событий", то есть независимость каждой пары различных событий. Бывает независимость по тройкам событий и вообще по любым подмножествам. Несколько событий могут быть независимы в совокупности. Все эти независимости связаны несимметрично. Наиболее употребимы попарная и совокупная независимость (pairwise/ mutual independence).
В некоторых учебниках по линалу, например, употребляются слова "попарно различные точки". Часто не даётся строгого определения "попарности" из-за неблагозвучия этого слова, но чисто интуитивно и однозначно можно дать строгое определение попарности.

[Sender]

Ktina в сообщении #1310582 писал(а):

Правда, осталось не совсем ясным, как

Sender в сообщении #1310402 писал(а):

...показать, что никакое разбиение прямоугольника на 4 не удовлетворяет требованию различности сторон.

Да хотя бы рассмотреть все возможные случаи, не так уж их там и много.

[kotenok gav]

А если куски можно перекрывать и размещать диагонально?

[PETIKANTROP]

gris в сообщении #1310610 писал(а):

В Теории Вероятностей применяется и во многих учебниках определяется термин "попарная независимость событий", то есть независимость каждой пары различных событий. Бывает независимость по тройкам событий и вообще по любым подмножествам. Несколько событий могут быть независимы в совокупности. Все эти независимости связаны несимметрично. Наиболее употребимы попарная и совокупная независимость (pairwise/ mutual independence).
В некоторых учебниках по линалу, например, употребляются слова "попарно различные точки". Часто не даётся строгого определения "попарности" из-за неблагозвучия этого слова, но чисто интуитивно и однозначно можно дать строгое определение попарности.

Если нет определения, значит в этом нет необходимости. Зачем уточнять двусмысленность одним из её однозначных синонимов?
К тому же, термин "различные" спокойно ( безо всяких попарностей) применяется по отношению ко множественному числу:

Цитата:

В комбинаторике размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.

Цитата:

В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n различных элементов.

Посмотрела определение "попарной независимости событий". Это не то же самое, что "попарно различные" в Вашем с ТС интуитивном понимании.

[EUgeneUS]

PETIKANTROP
Выше же приводился пример, что фраза "k различных элементов", может трактоваться и как "нет одинаковых элементов", и как "не все элементы одинаковы".
Уточнение "попарно различны" - элегантный способ одним словом устранить эту (возможную) двусмысленность.

-- 07.05.2018, 12:00 --

PETIKANTROP в сообщении #1310598 писал(а):

Что Вам мешает избавиться от лишних нагромождений в формулировках ТОЛЬКО Ваших задач и употребить слово - синоним первого значения "различный" - РАЗНЫЙ,
чтобы высоты всех кусков были разные...
или
чтобы длины и ширины всех кусков были разные?

Насколько понимаю, это эквивалентно "попарной различности", но требует уточняющего слова "всех".
ИМХО, дело вкуса.

[gris]

Ну я имел в виду некоторую аналогию: Пусть дано конечная последовательность из $N$ чисел $A\{a_k\vert k\in [1,N]\}$. Назовём их попарно различными, если $\forall i\in [1,N],\forall j\in [1,N]: a_i=a_j \Rightarrow i=j$.
Как это дело выглядит в несчётном варианте, я даже и не знаю .