Найти время столкновения двух тел (Сила тяготения)

[GRUB_666]

Здравствуйте! Мне не так давно пришла в голову мысль решить для себя такую задачу:

Есть два тела T1 и Т2

m1 = 20 000 кг
m2 = 40 000 кг

R (Расстояние между ними) = 600 км

Найти:

За какое время два тела столкнутся (Считать тела материальными точками)





Я в 9 классе и как мне кажется нам нужно продифференциировать ускорение, чтобы найти ускорение ускорения (Прошу прощения за эту формулировку), однако ничего хорошего не выходит, пожалуйста, подскажите: как бы вы решили эту задачу?

[Munin]

Решить эту задачу "в лоб" средствами 9-го класса нельзя.

Можно сделать грубые оценки по порядку величины.

И можно решить, используя законы Кеплера. Падение одного тела на другое - это орбитальное движение по эллипсу, в том вырожденном случае, когда эллипс имеет эксцентриситет 1, и превращается в отрезок между фокусами. Соответственно, время падения - это половина периода обращения.

Не забудьте перейти в систему отсчёта центра масс, и заменить задачу на задачу с приведённой массой!

----------------

Вообще прямая задача механики (найти движение тел по заданным условиям) решается так:

Вам известно, что скорость - производная положения (отложим его по оси $x,$ и запишем формулы в одномерном случае), а ускорение - производная скорости:

$v=\dfrac{dx}{dt},\quad a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt}\Bigl(\dfrac{dx}{dt}\Bigr)=\dfrac{d^2x}{dt^2}.$

Известные силы позволяют записать дифференциальное уравнение

$$a=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{F}{m},$$

которое потом можно попытаться решить аналитически или численно.

В случае нескольких тел, получается система уравнений:

$$\begin{cases}a_1=\dfrac{d^2x_1}{dt^2_{\vphantom{x}}}=\dfrac{F_1}{m} \\ a_2=\dfrac{d^2x_2}{dt^2}=\dfrac{F_2}{m},\end{cases}$$

решать которую может быть сложней, если не удастся упростить, например, свести к одному уравнению (как в задаче двух тел).

----------------

В случае, если сила имеет известную потенциальную энергию $U(x)$ (то есть, потенциальна; пример непотенциальной силы - сила трения), можно ближе подобраться к решению другим путём. (Дальше по Ландау, Лифшиц. Механика.) Записываем закон сохранения энергии:

$$\dfrac{mv^2}{2}+U(x)=E,$$

где $E$ - некая константа, которая будет параметром для решения. Выразим скорость:

$$v=\dfrac{dx}{dt}=\sqrt{\dfrac{2}{m}\bigl(E-U(x)\bigr)},$$

и рассмотрим это уравнение как дифференциальное, пользуясь выражением скорости как производной от положения. Это уравнение оказывается простого типа "с разделяющимися переменными":

$$\sqrt{\dfrac{m}{2}}\cdot\dfrac{dx}{\sqrt{E-U(x)}\,\,}=dt,$$

и имеет решение

$$t=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\int\dfrac{dx}{\sqrt{E-U(x)}\,\,}+\mathrm{const}.$$

Этот интеграл тоже не всегда берущийся, но если он не берётся аналитически, его можно посчитать численно, и это проще, чем решать дифференциальное уравнение.

Впрочем, в данном случае интеграл берётся, хотя, может быть, не силами 9-го класса.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.