Теорема о многочлене

[_Ivana]

Только что на Хабре обнаружил статью с заголовком Новое доказательство теоремы о многочлене, где доказывается следующая теорема
Пусть$f(x)$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $x$ найдется натуральное $n$ такое, что $f^{(n)}(x) = 0$. Тогда $f(x)$ многочлен.
И я думаю - или уже пол третьего ночи и я уже не соображаю, или в чем моя ошибка с контрпримером $f(x) = |x^3|$

[Someone]

_Ivana в сообщении #1304979 писал(а):

в чем моя ошибка с контрпримером $f(x) = |x^3|$

Одно из условий теоремы не выполняется.

[_Ivana]

Все, понял, не додумал до конца.

[nya]

Непонятный оверкилл какой-то, если функция в каждой точке многочлен - то она многочлен, очевидно, по условию задачи множество $F$ пусто и неясно зачем его исследовать, компактность отрезка тут вообще не при чём, аналогичная теорема верна для любой открытой области в $\mathbb{R}^n$.

[eugensk]

nya в сообщении #1305084 писал(а):

если функция в каждой точке многочлен.. компактность отрезка тут вообще не при чём

Если вы точнее запишете своё "если функция в каждой точке многочлен", то получите весь "оверкилл". Чтобы перейти от утверждения о точке к окрестности нужна гладкость-непрерывность, от окрестности ко всей области - компактность.

[nya]

eugensk в сообщении #1305098 писал(а):

от окрестности ко всей области - компактность.

Ерунда, если гладкая функция равна многочлену $P$ в области $U$ и многочлену $Q$ в области $V$ и $U \cap V \neq \emptyset$ то $P=Q$, потому что многочлены равные на открытом множестве равны. Компактность не нужна, теорема Бэра не нужна, нужен тот факт, что я написал выше и понимание того, что такая функция аналитична.

[Sender]

А с чего вы взяли, что рассматриваемая функция равна многочлену в какой бы то ни было области?

[novichok2018]

Меня учили, что это на теорему Бэра о категориях задача, нет? Кстати, хотел бы увидеть её полное решение. Из т. Бэра следует только, что она на некотором интервале многочлен, так? Как для всего интервала целиком доказать?