2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вещественность корней
Сообщение15.04.2018, 23:32 


08/12/17
191
Требуется доказать, что следующие уравнения имеют только вещественные решения:
1) $\tg z=z$
2) $a_0+a_1\cos z+...+a_n\cos(nz)=0$. $a_n>...>a_1>a_0\geqslant 0$

1) Попробовал "в лоб" приравнять мнимые части. Получил для $z=x+iy$ следующее $\frac{\sh(2y)}{2(\cos^2x+\sh^2y)}=y$. Что-то показалось не очень просто доказать, что это верно лишь при $y=0$. Да и к тому же вряд ли на такое решение рассчитан номер.
Попробовал использовать теорему Руше. Знаю, что в каждом круге $\left\lvert z\right\rvert$<$\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}, n\geqslant 0$ уравнение имеет $2n+3$ вещественных корня. Значит надо доказать, что данное уравнение в этих кругах имеет всего $2n+3$ корня. Рассматриваем круги $\left\lvert z\right\rvert$<$\frac{\pi}{2}+\pi n - \varepsilon$ (ну чтобы тангенс существовал, и корни попадали). И рассмотрим функции $f(z)=\tg z$ и $g(z)=-z$. Если удастся доказать, что на границах кругов $\left\lvert f(z)\right\rvert>\left\lvert g(z)\right\rvert$, то, вроде, всё выходит. Но как это сделать? Или это неверно? И как тогда решать?
Про 2) что-то вообще толковых идей нет. Есть советы у кого-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественность корней
Сообщение15.04.2018, 23:59 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
1 - вроде, обсуждалась недавно...
2 - без условий на коэффициенты - просто неверно ($2+ \cos z =0$). Достаточное условие: вещественность плюс "старший коэф-т больше суммы остальных"...

(Оффтоп)

Школьная задача "Дама с собачкой": Показать, что при этом условии на коэф-ты, уравнение имеет $2n$ решений на $[0,2\pi)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественность корней
Сообщение16.04.2018, 00:01 


08/12/17
191
DeBill в сообщении #1304571 писал(а):
без условий на коэффициенты

Прошу прощения, добавил в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественность корней
Сообщение16.04.2018, 00:13 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
«Действительность корней уравнения»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественность корней
Сообщение17.04.2018, 02:03 


08/12/17
191
DeBill в сообщении #1304571 писал(а):
уравнение имеет $2n$ решений на $[0,2\pi)$.

Попробовал как у Чехова.
Пусть $f(z)=a_n\cos(nz); g(z)=a_n\cos(nz)+a_{n-1}\cos((n-1)z)+...+a_0$. Найдём при $z\in [0, 2\pi)$ $\left\lvert g(z)-f(z)\right\rvert=\left\lvert a_{n-1}\cos((n-1)z)+...+a_0\right\rvert\leqslant \left\lvert a_{n-1}\cos((n-1)z)\right\rvert$ $+\left\lvert a_{n-2}\cos((n-2)z)\right\rvert+...+a_0\leqslant a_{n-1}+...+a_0<a_n$.
Дальше как не знаю. Понимаю, что когда $z$ пробегает $[0, 2\pi)$, то $\cos(nz)$ $n$ раз проходит ноль.

А вот дальше что-то даже получилось. Берём квадрат со сторонами $x, y=\pm 2\pi m$. И пробуем теорему Руше.
$x=\pm 2\pi m$:
$\left\lvert f(z)\right\rvert=a_n\left\lvert \sh^2ny+\cos^2nx\right\rvert=a_n\left\lvert \sh^2ny+1\right\rvert$
$\left\lvert g(z)\right\rvert=\left\lvert a_{n-1}(\sh^2((n-1)y)+\cos^2((n-1)2\pi m))+...+a_0\right\rvert$$\leqslant (a_{n-1}+...+a_0)\left\lvert \sh^2ny+1\right\rvert< a_n\left\lvert \sh^2ny+1\right\rvert=\left\lvert f(z)\right\rvert$ (использовал возрастание $\sh y$)
$y=\pm 2\pi m$:
$\left\lvert g(z)\right\rvert\leqslant a_{n-1}\left\lvert \sh^2(n-1)2\pi m+1\right\rvert+...+a_0\leqslant$$(a_{n-1}+...+a_0)(\sh^22\pi mn+1)\leqslant a_n(\sh^22\pi mn+1)$
$\left\lvert f(z)\right\rvert=a_n(\sh^22\pi mn+\cos^2nx)$. Здесь уже сравнить не получается.
К тому же условия на коэффициенты не совсем те изначально. В общем, совсем закопался. Наверное, как-то по-другому это делается?

(Оффтоп)

DeBill
Чувствую себя Вашим ником

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественность корней
Сообщение22.04.2018, 16:07 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
Про даму с собачкой: пусть дама гуляет вокруг церкви по (беговой) дорожке - окружности радиуса $a_n$. На поводке длины $a_{n-1}$ у нее - собачка; к этой собачке веревочкой длины $a_{n-2}$ привязана собачка поменьше, и т.д. Пусть угловая скорость дамы равна $n$ (шустрая такая дама), первой собачки - $n-1$, ..., предпоследней - равна 1, а последней - 0 (вмерла, видимо), поводки всегда натянуты. Показать, что за время $2\pi$ дохлую собачку эта компания ровно $n$ раз
протащит вокруг церкви (так что соответствующее уравнение - с косинусами - будет иметь не менее $2n$ корней: столько раз она пересечет вертикаль $x=0$).
Решение. Дети говорят - дык, очевидно (если сумма длин веревочек меньше радиуса круга). Большие дети говорят: дык, приращение аргумента равно приращению аргумента главного слагаемого (вынесем его за скобку; в скобке останется единичка плюс что-то меньшее единицы; приращение аргумента скобки равно 0) ...
Про Ваши оценки (которые "дальше"): Вы оцениваете КВАДРАТЫ модулей функций, да? А что, квадрат суммы всегда меньше суммы квадратов?
Но у Вас - да, не такие условия на коэф-ты. Я прикидывал: если сделать преобразование Абеля ("дискретное интегрирование по частям"), заменив сумму произведений на сумму произведений "нарастающих сумм" и разностей, то, вроде, Ваше условие трансформируется в "дамособачкино". Может, это Вам поможет?
Но выглядит это как то слишком сложно, должно быть, я полагаю, что-то попроще...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group