Действительность корней уравнения

[StaticZero]

Уравнение $z=\tg z$, нужно доказать, что корни действительные. Задача на теорему Руше и принцип аргумента.

Согласно принципу аргумента, количество нулей регулярной функции в области $D$ равно $\displaystyle \mathop{\operatorname{var}}\limits_{z \in \partial D} \arg f(z)$. Я могу предложить две области с простой границей: это круг $|z| \leqslant \pi n$ и квадрат, описанный вокруг такого круга. Но на обеих границах мне не понятно, как вычислить вариацию аргумента. Про функцию я знаю это:

$$ z-\tg z= \left(x- \dfrac{\tg x}{\ch^2 y}\right) + i \left(y-\dfrac{\th y}{\cos^2 x}\right). $$

Как-то сразу не видно пути для вычислений. Не могли бы вы первый шаг подсказать?

Да. Сделать планирую вот что: рассмотреть количество корней в области и сосчитать количество действительных корней в этой же области, они должны совпасть. Составлю последовательность областей, которыми накрывается комплексная плоскость и дело в шляпе.

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1281017 писал(а):

Согласно принципу аргумента, количество нулей регулярной функции в области $D$ равно $\displaystyle \mathop{\operatorname{var}}\limits_{z \in \partial D} \arg f(z)$

Разве тангенс регулярен в круге

StaticZero в сообщении #1281017 писал(а):

$|z| \leqslant \pi n$

?
Проще избавиться от полюсов, перейдя к равносильному уравнению $z\cos z =\sin z$.

[DeBill]

Может, использовать разложение котангенса?
Тогда надо доказать, что все нули уравнения (блин, Латехпомощник накрылся?): сумма по ненулевым целым $n$, $(z-n)^{-1} = 0$ - вещественны....

[StaticZero]

Brukvalub в сообщении #1281068 писал(а):

Разве тангенс регулярен в круге

Нет, не регулярен, точно.

$$\begin{align*} |z \cos z|^2 = |z|^2 (\cos^2 x \ch^2 y + \sin^2 x \sh^2 y) = (x^2 + y^2)(\sh^2 y + \cos^2 x), \end{align*}$$

$$ |\sin z|^2 = (\sin^2 x \ch^2 y + \cos^2 x \sh^2 y) = \sh^2 y + \sin^2 x. $$

Исследуем границу квадрата. Для $x = \pm \pi n$

$$ |z \cos z|^2 = (\pi^2 n^2 + y^2)(\sh^2 y + 1), \qquad |\sin z|^2 = \sh^2 y, \qquad |z \cos z| > | \sin z|. $$

Для $y = \pm \pi n$

$$ \begin{align*} &|z \cos z|^2 = (x^2 + \pi^2 n^2)(\sh^2 (\pi n) + \cos^2 x) \geqslant (x^2 + \pi^2 n^2) \sh^2 (\pi n) \geqslant \pi^2 n^2 \sh^2 (\pi n) > \sh^2 (\pi n) + 2 > \\ &> \sh^2 (\pi n) + \sin^2 x = |\sin z|^2. \end{align*}$$

Количество корней в квадрате функции $f(z)$ равно количеству нулей функции $z \cos z$ в нём же по теореме Руше, в свою очередь количество нулей $z \cos z$ на единицу больше количества нулей $\cos z$, коих в этом квадрате $2n$. Таким образом, количество нулей $f(z)$ в квадрате равно $2n + 1$, количество нулей уравнения $x \cos x = \sin x$ на отрезке $[-\pi n, \pi n]$ равно $2n + 1$, доказано.