Найти предел тригонометрической функции

[mischutka]

$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x$
$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^{x \cdot \frac{m}{x}}=1$
Решение другое? Спасибо.

[Metford]

Вы хотите сказать, что первый же переход правильный?

[thething]

Сведите ко второму замечательному, например, разложив косинус по формуле Тейлора

[mischutka]

$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x$
$\lim\limits_{x\to\infty} (1+\cos \frac{m}{x})^{x \cdot \frac{m}{x}}=1$
Решение другое? Спасибо.

[Lia]

mischutka
Вы интересно так. Генерируете произвольный набор символов и спрашиваете - верно ли? У Вас действительно есть надежда рандомным способом получить не то что правильный ответ, но и правильное решение?

Обоснуйте первый переход, пожалуйста.

[mischutka]

1)$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x$
2)$\lim\limits_{x\to\infty} (1+\cos \frac{m}{x}-1)^{x}$
3)$(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{x}$
4)$(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{(\frac{1}{\cos\frac{m}{x}-1}\cdot x \cdot \cos\frac{m}{x}-1)}$
5)$e^{x \cdot (\cos \frac{m}{x} -1)}$
6)$e ^{\lim\limits_{x\to\infty}x (\cos\frac{m}{x}-1)}$

Решение другое? Спасибо.

[Brukvalub]

Про скобки вам в школе не рассказывали? Утаили?

[thething]

mischutka
М-да, тут или скобки ставить или использовать формулу Тейлора $\cos\frac{1}{x}= 1-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^3})\right$ при $x\to \infty$

[mischutka]

$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x$
$\lim\limits_{x\to\infty} (1+\cos \frac{m}{x}-1)^{x}$
$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{x}$
$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{(\frac{1}{\cos\frac{m}{x}-1}\cdot x \cdot \cos\frac{m}{x}-1)}$
$e ^{\lim\limits_{x\to\infty}x (\cos\frac{m}{x}-1)}$
$e ^{\lim\limits_{t\to 0}\frac{m}{t} (\cos t-1)}$
$e^{m\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t} (\cos t-1)}$
$e^0 =1,$
т.к. $\frac{1}{\infty}=0$

$\frac{m}{x}=t$, $x=\frac{m}{t}$

Решение другое? Спасибо.

[kotenok gav]

Есть пара опечаток.

[thething]

mischutka
Куда при Вашей замене будет стремиться $t$? И чему эквивалентно $\cos t -1$?

[ewert]

Стандартно это делается не Тейлором, а просто применением к косинусу формулы для двойного угла.

[mischutka]

1)$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x$
2)$\lim\limits_{x\to\infty} (1+\cos \frac{m}{x}-1)^{x}$
3)$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{x}$
4)$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\cos\frac{m}{x}-1)^{(\frac{1}{\cos\frac{m}{x}-1}\cdot x \cdot \cos\frac{m}{x}-1)}$
5)$e ^{\lim\limits_{x\to\infty}x (\cos\frac{m}{x}-1)}$
6)$e ^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{m}{x} (cost-1)}$
7)$e ^{\lim\limits_{t\to0}\frac{m}{t}(\cos t-1)}$
8)$e ^{\lim\limits_{t\to0}\frac{m}{t}(\cos t-1)}$
9)$e^{m\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{t}(\cos t-1)}$
10)$e^0 =1,$
т.к. $\frac{1}{\infty}=0$

$\frac{m}{x}=t$, $x=\frac{m}{t}$
t\to 0
(\cos t -1)= -2\sin^2 \frac{t}{2} ,
при умножении на ноль будет ноль.
Ход решения другой? Спасибо.

[bot]

Если $x\to\infty$, то

thething в сообщении #1310742 писал(а):

куда будет стремиться $t=\frac mx$?

[TOTAL]

Почему бы с самого начала не избавиться от косинуса

$$\lim\limits_{x\to\infty} (\cos \frac{m}{x})^x \ge \lim\limits_{x\to\infty} (1- \frac{m^2}{2x^2})^x$$