2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение04.04.2018, 17:37 


27/03/18
66
Я знаю, что тут положено прилагать какие-то попытки расчетов к теме, но у меня их нет.

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $P_0$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $ C $.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Возможно, есть смысл записать скорость откачки как $\upsilon$=Cdt$.

Раз процесс изотермический, то $PV=\operatorname{const}$.

Тогда $dPV=P \cdot Cdt$.

Дальше явно нужно что-то проинтегрировать, но что именно? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение04.04.2018, 18:16 


05/09/16
11461
TimofeiN
Вероятно вы не поняли условия?
Ну вот представьте что за первую секунду откачали одну десятую объема, причем температуру поддерживали постоянной.
Каким стало давление? За вторую секунду откачали одну десятую от оставшегося, каким теперь теперь стало давление?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение04.04.2018, 23:05 


27/03/18
66
wrest в сообщении #1301614 писал(а):
За вторую секунду откачали одну десятую от оставшегося, каким теперь теперь стало давление?

Надо показать зависимость давления от времени? Тогда нужно проинтегрировать одну часть от $P_0$ до $P$, а вторую часть от $t_0$ до $t$.
Но я не знаю, как проинтегрировать данное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение04.04.2018, 23:11 


05/09/16
11461
TimofeiN
Давайте заменим секунды на шаги.

На первом шаге изотермически откачали десятую часть объема. Чему стало равно давление в сосуде после этого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение04.04.2018, 23:21 


30/01/18
577
TimofeiN
Не знаю понятно ли мне удастся изложить свою идею решения вашей задачи.

Здесь идёт постоянное удаление газа из объёма, то есть переменное количество рабочего тела.
Предлагаю работать с постоянным количеством рабочего тела.
Представим длинный цилиндр и главный поршень установим на объём $V_0$ в этом объёме первоначально находится всё количество нашего газа.
заполним плотно весь объём $V_0$ тонкими лёгкими поршеньками (суммарный объём этих поршеньков $0$ и они не вносят ни каких искажений в параметры)

Начнём выдвигать главный поршень из цилиндра. Тонкие легкие поршеньки тоже начнут самостоятельно двигаться каждый со своей пропорциональной скоростью.

Необходимо найти зависимость скорости движения главного поршня (и соответственно изменение объёма) от времени, при условии, что лёгкий поршенёк, находящийся, в данный момент на объёме $V_0$ движется с указанной скоростью $C$. (Это будет решение обычного дифференциального уравнения)

Далее по закону Бойля — Мариотта найти требуемую зависимость давления от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 00:40 


27/03/18
66
Изменение давления будет напрямую зависеть от изменения объема.
$\frac{dP}{P}=\frac{C(t-t_0)}{V}$

$\int\limits_{P_0}^{P}\frac{dP}{P}=\frac{C(t-t_0)}{V}$

Дальше не могу разобраться с логарифмами. Возможно где-то ошибка на более раннем этапе.

$\ln P=\frac{C(t-t_0)}{V}+\ln P_0 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 01:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TimofeiN, забудьте пока о дифференциалах и интегралах, тут проще обходиться без них, тем более что процесс откачки газа из объема и в реальности дискретен. Просто считайте, что каждую секунду к объему подключается дополнительная камера объема $C$, которая после заполнения ее газом отсоединяется, а газ из нее удаляется (как и куда - неважно, можно считать, что он просто пропадает).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 01:34 


27/03/18
66
Pphantom в сообщении #1301741 писал(а):
TimofeiN, забудьте пока о дифференциалах и интегралах, тут проще обходиться без них, тем более что процесс откачки газа из объема и в реальности дискретен. Просто считайте, что каждую секунду к объему подключается дополнительная камера объема $C$, которая после заполнения ее газом отсоединяется, а газ из нее удаляется (как и куда - неважно, можно считать, что он просто пропадает).


$P=P_0 \cdot e^{\frac{C \cdot t}{V}} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 01:50 


01/04/08
2720
Неверно.
Подсказка.
Что такое показательная функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 02:00 


27/03/18
66
GraNiNi в сообщении #1301746 писал(а):
Что такое показательная функция?


Это функция $y=a^x$, где основание $a$ постоянное, а значение функции зависит от показателя степени $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 02:07 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TimofeiN в сообщении #1301744 писал(а):
$P=P_0 \cdot e^{\frac{C \cdot t}{V}} $
Нет, просто попробуйте решить задачу в такой постановке. Обычными школьными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 02:17 


27/03/18
66
Pphantom в сообщении #1301749 писал(а):
Нет, просто попробуйте решить задачу в такой постановке. Обычными школьными методами.

$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 02:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TimofeiN в сообщении #1301751 писал(а):
$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$
Не стоит угадывать ответ, лучше все-таки попытаться найти решение. К тому же даже результат угадывания стоит проверять на разумность... как будет меняться давление со временем, если поверить вышепроцитированной формуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 02:36 


27/03/18
66
Pphantom в сообщении #1301753 писал(а):
TimofeiN в сообщении #1301751 писал(а):
$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$
Не стоит угадывать ответ, лучше все-таки попытаться найти решение. К тому же даже результат угадывания стоит проверять на разумность... как будет меняться давление со временем, если поверить вышепроцитированной формуле?


Да я и не угадывал, просто выразил давление через закон Бойля — Мариотта.

$C(t-t_0) $ - весь откаченный объем.

Выразил я, кажется, неправильно. Получится:

${P_0}V=PC(t-t_0)$

$P=\frac{{P_0}V}{C(t-t_0)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.
Сообщение05.04.2018, 09:01 


01/04/08
2720
TimofeiN в сообщении #1301748 писал(а):
Это функция $y=a^x$, где основание $a$ постоянное, а значение функции зависит от показателя степени $x$.

В нашем случае $y$ - это текущее давление, а $x$ - время.
Теперь сами найдите основание - $a$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group