Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде.

[TimofeiN]

Я знаю, что тут положено прилагать какие-то попытки расчетов к теме, но у меня их нет.

Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $P_0$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $ C $.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.

Возможно, есть смысл записать скорость откачки как $\upsilon$=Cdt$.

Раз процесс изотермический, то $PV=\operatorname{const}$.

Тогда $dPV=P \cdot Cdt$.

Дальше явно нужно что-то проинтегрировать, но что именно?

[wrest]

TimofeiN
Вероятно вы не поняли условия?
Ну вот представьте что за первую секунду откачали одну десятую объема, причем температуру поддерживали постоянной.
Каким стало давление? За вторую секунду откачали одну десятую от оставшегося, каким теперь теперь стало давление?

[TimofeiN]

wrest в сообщении #1301614 писал(а):

За вторую секунду откачали одну десятую от оставшегося, каким теперь теперь стало давление?

Надо показать зависимость давления от времени? Тогда нужно проинтегрировать одну часть от $P_0$ до $P$, а вторую часть от $t_0$ до $t$.
Но я не знаю, как проинтегрировать данное выражение.

[wrest]

TimofeiN
Давайте заменим секунды на шаги.

На первом шаге изотермически откачали десятую часть объема. Чему стало равно давление в сосуде после этого?

[rascas]

TimofeiN
Не знаю понятно ли мне удастся изложить свою идею решения вашей задачи.

Здесь идёт постоянное удаление газа из объёма, то есть переменное количество рабочего тела.
Предлагаю работать с постоянным количеством рабочего тела.
Представим длинный цилиндр и главный поршень установим на объём $V_0$ в этом объёме первоначально находится всё количество нашего газа.
заполним плотно весь объём $V_0$ тонкими лёгкими поршеньками (суммарный объём этих поршеньков $0$ и они не вносят ни каких искажений в параметры)

Начнём выдвигать главный поршень из цилиндра. Тонкие легкие поршеньки тоже начнут самостоятельно двигаться каждый со своей пропорциональной скоростью.

Необходимо найти зависимость скорости движения главного поршня (и соответственно изменение объёма) от времени, при условии, что лёгкий поршенёк, находящийся, в данный момент на объёме $V_0$ движется с указанной скоростью $C$. (Это будет решение обычного дифференциального уравнения)

Далее по закону Бойля — Мариотта найти требуемую зависимость давления от времени.

[TimofeiN]

Изменение давления будет напрямую зависеть от изменения объема.
$\frac{dP}{P}=\frac{C(t-t_0)}{V}$

$\int\limits_{P_0}^{P}\frac{dP}{P}=\frac{C(t-t_0)}{V}$

Дальше не могу разобраться с логарифмами. Возможно где-то ошибка на более раннем этапе.

$\ln P=\frac{C(t-t_0)}{V}+\ln P_0 $

[Pphantom]

TimofeiN, забудьте пока о дифференциалах и интегралах, тут проще обходиться без них, тем более что процесс откачки газа из объема и в реальности дискретен. Просто считайте, что каждую секунду к объему подключается дополнительная камера объема $C$, которая после заполнения ее газом отсоединяется, а газ из нее удаляется (как и куда - неважно, можно считать, что он просто пропадает).

[TimofeiN]

Pphantom в сообщении #1301741 писал(а):

TimofeiN, забудьте пока о дифференциалах и интегралах, тут проще обходиться без них, тем более что процесс откачки газа из объема и в реальности дискретен. Просто считайте, что каждую секунду к объему подключается дополнительная камера объема $C$, которая после заполнения ее газом отсоединяется, а газ из нее удаляется (как и куда - неважно, можно считать, что он просто пропадает).

$P=P_0 \cdot e^{\frac{C \cdot t}{V}} $

[GraNiNi]

Неверно.
Подсказка.
Что такое показательная функция?

[TimofeiN]

GraNiNi в сообщении #1301746 писал(а):

Что такое показательная функция?

Это функция $y=a^x$, где основание $a$ постоянное, а значение функции зависит от показателя степени $x$.

[Pphantom]

TimofeiN в сообщении #1301744 писал(а):

$P=P_0 \cdot e^{\frac{C \cdot t}{V}} $

Нет, просто попробуйте решить задачу в такой постановке. Обычными школьными методами.

[TimofeiN]

Pphantom в сообщении #1301749 писал(а):

Нет, просто попробуйте решить задачу в такой постановке. Обычными школьными методами.

$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$

[Pphantom]

TimofeiN в сообщении #1301751 писал(а):

$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$

Не стоит угадывать ответ, лучше все-таки попытаться найти решение. К тому же даже результат угадывания стоит проверять на разумность... как будет меняться давление со временем, если поверить вышепроцитированной формуле?

[TimofeiN]

Pphantom в сообщении #1301753 писал(а):

TimofeiN в сообщении #1301751 писал(а):

$P=\frac{P_0 \cdot C \cdot t}{V}$

Не стоит угадывать ответ, лучше все-таки попытаться найти решение. К тому же даже результат угадывания стоит проверять на разумность... как будет меняться давление со временем, если поверить вышепроцитированной формуле?

Да я и не угадывал, просто выразил давление через закон Бойля — Мариотта.

$C(t-t_0) $ - весь откаченный объем.

Выразил я, кажется, неправильно. Получится:

${P_0}V=PC(t-t_0)$

$P=\frac{{P_0}V}{C(t-t_0)}$

[GraNiNi]

TimofeiN в сообщении #1301748 писал(а):

Это функция $y=a^x$, где основание $a$ постоянное, а значение функции зависит от показателя степени $x$.

В нашем случае $y$ - это текущее давление, а $x$ - время.
Теперь сами найдите основание - $a$