2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 02:54 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Здравствуйте. Имеется конструкция вида $g_{ij} x_i x_j x_j$, которая, как я понимаю, является частным случаем кубической формы. Кроме того, есть ортогональное преобразование $x_i = A_{ik} y_k$ такое, что $A^{-1}_{im} g_{ml} A_{lk} = \lambda_i \delta_{ij}$. Мне бы очень хотелось разбить исходную форму на диагональную и недиагональную части в этом новом базисе, то есть иметь что-то вроде:
$$g_{ij} x_i x_j x_j = \lambda_i y_i y_i y_i + G_{ikj} y_i y_k y_j$$
Вопрос заключается в том, как при этом найти $G_{ikj}$ и всегда ли это вообще возможно (имеется в виду, разумеется, что у $G_{ikj}$ все диагональные элементы равны нулю)? С учётом ортогональности $A$ должно получиться:
$$A^{-1}_{ki} g_{ij} A_{jl} A_{jm} y_k y_l y_m = \lambda_i y_i y_i y_i + G_{klm} y_k y_l y_m$$
или
$$\left(A^{-1}_{ki} g_{ij} A_{jl} A_{jm} - G_{klm} - \lambda_k \delta_{klm} \right) y_k y_l y_m = 0$$
(плюс условие $A^{-1}_{im} g_{ml} A_{lk} = \lambda_i \delta_{ij}$)

Это всё сильно смахивает на какую-то расширенную задачу на СЗ, но я немного теряюсь, что делать дальше. Может кто-нибудь подсказать, в каком направлении двигаться?

P.S. Такой же вопрос, если честно, стоит и по поводу следующего выражения: $g_{ij} x_i x_i x_j x_j $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
$\lambda_i = g_{ii}$,
$ G_{ijk} x_i x_j x_k = g_{ij} (x_i)^2 x_j - \lambda_i (x_i)^3 $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 11:17 
Заслуженный участник


29/12/14
504
пианист в сообщении #1299813 писал(а):
$\lambda_i = g_{ii}$,
$ G_{ijk} x_i x_j x_k = g_{ij} (x_i)^2 x_j - \lambda_i (x_i)^3 $?

Если я правильно понимаю, то из этого следует
$$ g_{ij} x_i x_j x_j = g_{ij} y_i y_j y_j,$$
где $x_i = A_{ik} y_k$, $A$ - ортогональная матрица.

Либо я вас неправильно понял, либо я этого совершенно не вижу. Не могли бы вы более развёрнуто ответить? Если вопрос тривиальный, то не могли бы объяснить почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Ну просто - "выкусываем" диагональную часть, да и все.
В любом базисе это можно сделать же.
В чем подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 13:10 
Заслуженный участник


29/12/14
504
пианист
Да, извиняюсь, я дурак просто. Из вышесказанного же следует, что
$$G_{klm} = A^{-1}_{ki} g_{ij} A_{jl} A_{jm}  - \lambda_k \delta_{klm}.$$
Подвоха никакого нет. Мне необходимо найти выражение для вышеуказанной формы в базисе, где $g$ диагональна, в как можно более приятном виде, разбив предварительно на диагональную и недиагональную части. Можно ли как-то вышеприведённое выражение упростить, пользуясь тем, что $A$ ортогональна и приводит $g$ к диагональному виду? Проблема просто в том, что в действительности точный вид $A$ мне неизвестен, поэтому хотелось бы по возможности минимизировать её присутствие. То есть если, например, возможно получить выражение для $G$ только через $g$ и $\lambda$ (в чём я, конечно, сомневаюсь), пользуясь сказанными мною свойствами, то это было бы просто невероятно круто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А Вы можете поделиться, где это у Вас вылезло и как Вы собираетесь это использовать? Это напоминает мне обобщения собственных значений на симметричные тензоры, но не то.

Впрочем, тензор этот неудобный, он на границе множества тензоров ранга $2n$. Вот, может быть, чем-то поможет:
$$\sum_{i,j} g_{ij} x_i x_j^2 = \frac{1}{3\varepsilon} \sum_{j} \left[ (x_j + \varepsilon \sum_i g_{ij} x_i)^3 - x_j^3 \right] + O(\varepsilon)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение26.03.2018, 14:15 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Xaositect в сообщении #1299844 писал(а):
А Вы можете поделиться, где это у Вас вылезло и как Вы собираетесь это использовать?

Это на самом деле из физики вылезло, так что вряд ли из этого какие-то выводы математические можно сделать будет. То есть идея в том, что в этом базисе у меня квадратичный кусок (который я здесь не приводил) диагонализуется. Слагаемые же более высокого порядка (3 и 4) отвечают за взаимодействие. Вот было бы очень хорошо, конечно, разделить это взаимодействие в новом базисе на диагональную и недиагональную части. И найти при этом красивое выражение для недиагональной части.
Xaositect в сообщении #1299844 писал(а):
Вот, может быть, чем-то поможет:
$$\sum_{i,j} g_{ij} x_i x_j^2 = \frac{1}{\varepsilon} \sum_{j} \left[ (x_j + \varepsilon \sum_i g_{ij} x_i)^3 - x_j^3 \right] + O(\varepsilon)$$

Боюсь, что не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение27.03.2018, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Gickle в сообщении #1299798 писал(а):
..
ортогональное преобразование $x_i = A_{ik} y_k$ такое, что $A^{-1}_{im} g_{ml} A_{lk} = \lambda_i \delta_{ij}$
..
Мне бы очень хотелось разбить исходную форму на диагональную и недиагональную части в этом новом базисе, то есть иметь что-то вроде:
$$g_{ij} x_i x_j x_j = \lambda_i y_i y_i y_i + G_{ikj} y_i y_k y_j$$

Хотелось бы уточнить, в каком все-таки базисе интересует разбиение?
В том, где $g$ (квадратичная форма) диагональна, кубическая будет диагональная тоже.
А если в исходном, то как это должно быть связано с новым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение27.03.2018, 15:58 
Заслуженный участник


29/12/14
504
пианист в сообщении #1300036 писал(а):
Хотелось бы уточнить, в каком все-таки базисе интересует разбиение?

В том, где $g$ диагональна.
пианист в сообщении #1300036 писал(а):
В том, где $g$ (квадратичная форма) диагональна, кубическая будет диагональная тоже.

Вот я не вижу этого, ей-богу. Не могли бы вы поподробнее объяснить, если не трудно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение27.03.2018, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Сори, торможу.
Вид $g_{ij} x_i x_j x_j$ у кубической формы в исходном базисе, а разбиение ищется в том, где квадратичная форма $g$ диагональна (а такого особого вида у кубической уже нет).
Теперь понял ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение15.10.2018, 16:12 
Заслуженный участник


29/12/14
504
С разрешения администрации форума хотел бы возобновить обсуждения вопроса. Постараюсь конкретизировать вопрос. Итак, имеется квадратичная форма вида:
$$M_2(x,x) = \frac{1}{c_0}\sum_{a,b=1}^N \left(\delta_{ab} - \frac{c_a c_b}{N}\right) x_a x_b \,,$$
где $c_a > 0, \ a = 0,\ldots,N$ - некоторые константы.

Матрица $\displaystyle g_{ab} \equiv \delta_{ab} - \frac{c_a c_b}{N}$ имеет $(N-1)$-кратно вырожденное собственное значение $\lambda_{1,\ldots,N-1} = 1$, отвечающее собственным векторам
$$\mathbf{v}_1 = \left(-c_N,0,\ldots,0,c_1 \right)^{T}, \ \mathbf{v}_2 = \left(-c_{N-1},0,\ldots,c_1,0\right)^{T}, \,\ldots,\ \mathbf{v}_{N-1} = \left(-c_{2},c_1,\ldots,0,0\right)^{T},$$
и собственное значение $\lambda_N = 1 - c_1^2 - \ldots - c_N^2$ с собственным вектором
$$\mathbf{v}_N = \left(c_1,c_2,\ldots,c_{N-1},c_N\right)^{T}.$$

Тогда квадратичная форма $g$ может быть приведена к каноническому виду преобразованием $x \to y = A \cdot x\,,$ где
$$
A = 
\begin{pmatrix}
-c_N &  -c_{N-1} & \cdots  & -c_2 & c_1\\
0 & 0 & \cdots & c_1 & c_2\\
\vdots & \vdots  & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & c_1 & \cdots & 0 & c_{N-1}\\
c_1 & 0 & \cdots & 0 & c_N
\end{pmatrix},
$$
к канонической (диагональной) форме.

Рассмотрим теперь следующие кубическую
$$M_3(x,x,x) = \sum_{a,b=1}^{N} d_b \left(\delta_{ab} - \frac{c_a c_b}{N} \right) x_a x_b x_b$$
и квартическую(?)
$$M_4(x,x,x,x) = \sum_{a,b=1}^{N}  f_b \left(\delta_{ab} - \frac{c_b^2}{N} \right) x_a x_a x_b x_b\,,$$
где $d_a, f_a > 0,\ a = 1,\ldots,N$ - некоторые положительные константы.

Понятно, что в новом базисе эти формы примут общий вид
$$M_3(y,y,y) = \sum_{a,b,c = 1}^N G^{(3)}_{abc} y_a y_b y_c$$
и
$$M_4(y,y,y,y) = \sum_{a,b,c,d = 1}^N G^{(4)}_{abcd} y_a y_b y_c y_d,$$
где
$$G^{(3)}_{abc} = \sum_{\gamma,\delta=1}^{N} d_{\delta} \left(\delta_{\gamma \delta } - \frac{c_{\gamma} c_{\delta}}{N} \right) A^{-1}_{a \gamma} A^{-1}_{b \delta} A^{-1}_{c \delta}$$
(и аналогично $G^{(4)}$)

Возникают следующие вопросы:
1) По сути, для $A^{-1}$ несложно найти аналитическое выражение. Оно имеет вид:
$$ A^{-1} =
\frac{1}{\mathbf{c}^2}
\begin{pmatrix}
-\frac{c_1 c_N}{c_1} &  -\frac{c_2 c_{N}}{c_1} & \cdots  & -\frac{c_{N-1} c_N}{c_1} & \frac{\mathbf{c}^2 - c_N^2}{c_1}\\
-\frac{c_1 c_{N-1}}{c_1} & -\frac{c_2 c_{N-1}}{c_1} & \cdots & \frac{\mathbf{c}^2 - c_{N-1}^2}{c_1} & -\frac{c_{N} c_{N-1}}{c_1}\\
\vdots & \vdots  & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{c_1 c_2}{c_1} & \frac{\mathbf{c}^2 - c_2^2}{c_1} & \cdots & -\frac{c_{N-1} c_2}{c_1} & -\frac{c_{N} c_2}{c_1}\\
c_1 & c_2 & \cdots & c_{N-1} & c_N
\end{pmatrix}
$$
Здесь $\displaystyle\mathbf{c}^2 \equiv \sum_{a=1}^N c_a^2$. Тогда вроде как и $G^{(3)}$ с $G^{(4)}$ выражаются в новом базисе весьма прямо. Но там получается такая мешанина, что чёрт продерёшься, по-моему. Может, есть какой-то трюк, чтобы весьма просто в общем случае явно выразить $G^{(3)}_{abc}$, $G^{(4)}_{abcd}$ через $c_a$,$d_a$, $f_a$ и $N$?
2) Если ответ на первый вопрос отрицательный, то существует ли хотя бы асимптотическое выражение для случая $N \to \infty$? То есть что-то вида
$$G^{(n)} = G^{(n)}(c_a,d_a,f_a) + O(1/N).$$
В этой теме уважаемый Xaositect приводил некоторое выражение для кубической формы, но оно к этому случаю как-то не прикручивается (ну или я, дурак, не вижу просто).

Я, как ни крутил (просто в лоб подставлял преобразование координат), ничего не получил - всё время где-то начинал путаться. Но я не математик от слова совсем, так что это не показатель совершенно.

P.S. Заранее извиняюсь за не совсем оптимальные и привычные обозначения - они обусловлены "историческими причинами".

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение15.10.2018, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Почему бы вам просто в системе координат, в которой $\vec{c}=(c,0,\ldots,0)^\mathrm{T},$ не записать ваших формул для $M_3,M_4$? Они должны сильно упроститься, а то, что вы не будете возиться с матрицей перехода $A,$ ничего не изменит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение15.10.2018, 17:12 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Munin в сообщении #1346467 писал(а):
Почему бы вам просто в системе координат, в которой $\vec{c}=(c,0,\ldots,0)^\mathrm{T},$ не записать ваших формул для $M_3,M_4$? Они должны сильно упроститься, а то, что вы не будете возиться с матрицей перехода $A,$ ничего не изменит.

$\mathbf{c} = (c_1, \ldots, c_N)^{T}$ не является вектором - это просто некоторый набор параметров, который под действием преобразования координат никак не меняется. То же самое касается и $d_a$ с $f_a$. Или вы что-то другое имели в виду?

P.S. К тому же случай $\mathbf{c}=(c,0,\ldots,0)^\mathrm{T}$ у меня, увы, не может выполняться вообще - все $c_a$ полагаются положительными. "На крайняк" был бы интересен другой предельный случай: $\mathbf{c}=c \, (1,1,\ldots,1)^\mathrm{T}$. Но хотелось бы всё-таки по возможности придерживаться более общего варианта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение15.10.2018, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Извините, вы начали с квадратичной формы $\delta_{ab}-\dfrac{c_a c_b}{N}$ - я её хорошо знаю. Поворотом системы координат её можно привести к собственному базису.

-- 15.10.2018 17:40:03 --

Gickle в сообщении #1346470 писал(а):
К тому же случай $\mathbf{c}=(c,0,\ldots,0)^\mathrm{T}$ у меня, увы, не может выполняться вообще - все $c_a$ полагаются положительными. "На крайняк" был бы интересен другой предельный случай: $\mathbf{c}=c \, (1,1,\ldots,1)^\mathrm{T}$.

Это всё одно и то же в разных системах координат. В бескоординатном виде квадратичная форма $\delta_{ab}-\dfrac{c_a c_b}{N}$ выглядит как $E-\tfrac{1}{N}\mathbf{c}\otimes\mathbf{c}.$ Очевидно, первую ось можно направить вдоль вектора $\mathbf{c}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение кубической формы к специфическому виду
Сообщение15.10.2018, 18:10 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Munin
А, торможу. Теперь понял, о чём вы, видимо.

Munin в сообщении #1346479 писал(а):
Поворотом системы координат её можно привести к собственному базису.

Ну да, как раз преобразованием $A$ она к главным осям и приводится. Тогда можно просто сразу стартовать со случая $\mathbf{c} = (c,0,\ldots,0)^{T}$. Но проблема в том, что (надо было сразу это написать, наверное) в действительности $d_a$ и $f_a$ не являются независимыми от $c_a$, а именно:
$$d_a = \frac{d}{c_a},\ f_a = \frac{f}{c_a^2},$$
где $d$ и $f$ - некоторые константы.

Я туплю, или это означает, что в базисе, где квадратичная форма диагональна, в $M_3$, $M_4$ будут "плохие значения" вида $\frac{1}{0}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group