2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение22.03.2018, 23:36 


28/08/13
521
Никогда этого не понимал - почему, если при попытке построения релятивистского квантового уравнения взять корень из гамильтониана (Бьёркен-Дрелл I формулы (1.8)-(1.9)), то возникнет, как Б. и Д. пишут чуть ниже, нелокальность.
Видно, что получается что-то странное: разлагая корень в ряд по производным, получим уравнение бесконечного порядка по координатам. Но почему это именно "нелокальность"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение23.03.2018, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ascold в сообщении #1299160 писал(а):
Видно, что получается что-то странное: разлагая корень в ряд по производным, получим уравнение бесконечного порядка по координатам. Но почему это именно "нелокальность"?
Так разлагать нельзя. Но нелокальность в том, что только дифференциальные операторы локальны (хотя бы потому, что только $\delta$ функция и ее производные сосредоточены в одной точке)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение23.03.2018, 11:02 


28/08/13
521
Red_Herring в сообщении #1299174 писал(а):
Так разлагать нельзя. Но нелокальность в том, что только дифференциальные операторы локальны (хотя бы потому, что только $\delta$ функция и ее производные сосредоточены в одной точке)

Почему нельзя?
Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?
Что нужно знать из математики, чтобы осмыслить Ваше утверждение о дельта-функции и её производных?
Локальность в квантовой физике - это синоним слов "причинность, обуславливаемая близкодействием" или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение23.03.2018, 11:17 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Ascold в сообщении #1299219 писал(а):
Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?



Проиллюстрирую простым примером. Пусть

$$
u(x)=\int K(y) v(x-y) dy
$$

Явно нелокальная связь функций (полей) $v$ и $u$. Разложим $v$ в ряд вблизи $y=0$:

$$
v(x-y) = \sum \frac{1}{n!}v^{(n)}(x)(-y)^n
$$

Здесь $v^{(n)}$ -- n-ная производная (в т.ч. нулевая -- сама функция). Тогда

$$
u(x) =\sum v^{(n)}(x) C_n
$$

где коэффициенты $C_n$ понятно как получаются -- интегрированием. Итого: как бы локальная связь, но с бесконечным числом производных, эквивалентна нелокальной связи. Естественно, я опустил вопросы, связанные со сходимостью.

-- Пт мар 23, 2018 15:30:03 --

Ascold в сообщении #1299160 писал(а):
получим уравнение бесконечного порядка по координатам.



Кстати. В сторону, но близко. В КТП вообще невозможны лагранжианы, содержащие производные выше первой. А почему знаете? Довольно просто. Если есть высшие производные по координатам, то в силу релятивизма должны быть и высшие производные по времени. А теория с высшими производными по времени не допускает канонического формализма. А тогда ее и квантовать нельзя, канонический формализм --- существенная часть квантовой теории. И вообще, даже не классическом уровне там появятся возбуждения поля экспоненциально затухающие и экспоненциально растущие во времени (вместо колебаний, т.е. волн) --- физически нечто бессмысленное.

В принципе бывает нерелятивисткая КТП (ну, это ---- конденсированная среда). Вот там могут быть высшие производные, но только пространственные, не временные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение23.03.2018, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ascold в сообщении #1299219 писал(а):
Почему нельзя?
Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?

Посмотрим на ряд Тейлора
$$
(p^2+1)^{1/2}=\sum_{n=0}^\infty a_n p^{2n}
$$
Коэффициенты найти легко, но даже и без этого из того, что особенности в $\pm i$ следует, что они порядка $1$ (ну, м.б. чуть похуже или получше). Поэтому этот ряд примененный к функции $\phi(x)$ будет сходится только на функциях, аналитических с радиусом сходимости $1$. А для таких функций понятие носителя отсутствует: если она равна $0$ на маленьком интервальчике, то она равна $0$ всюду.

Что имеют в виду ? Не знаю, но не вполне правы. Почему? Рассмотрим
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}(ip)^n.
\tag{*}
$$
Он содержит все производные, но он сходится на функциях, производные которых растут как $(2n)!$ (или грубо $(n!)^2$). И такие функции не обязаны быть аналитическими, они принадлежат классу Жевре с показателем $2$, и для них понятие носителя имеет смысл: есть такие функции, отличные от $0$ на сколь угодно малом отрезке, и равные $0$ вне его.

А вот
$$
e^{ip}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n)!}(ip)^n
$$
является оператором сдвига, и потому нелокален.

Впрочем, можно показать, что оператор конечного порядка $m$ (т.е. такой, что $\|Ku\|\le C\sum _{\alpha: |\alpha|\le m} \|\nabla^\alpha u\|$) либо нелокален, либо дифференциальный порядка $m$).
Цитата:
Что нужно знать из математики, чтобы осмыслить Ваше утверждение о дельта-функции и её производных?
Локальность в квантовой физике - это синоним слов "причинность, обуславливаемая близкодействием" или нет?

Элементы теории обобщенных функций.

Локальный оператор (в математике): если $u=0$ на множестве $\Omega$, то и $Ku=0$ на множестве $\Omega$. Если говорить об операторах конечного порядка, то такими будут только обычные дифференциальные операторы. Для операторов бесконечного порядка возможны примеры типа (*) (считайте их дифференциальными бесконечного порядка),.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение24.03.2018, 14:33 


28/08/13
521
Ещё спрошу здесь же - если смотреть на уравнение Клейна-Гордона не как на квантовополевое уравнение, а на уравнение для релятивистской волновой функции, то в книгах встречаются странные вещи. К примеру, Greiner, Relativistic quantum mechanics пишет, что если частица нейтральна, то решение УКГ д.б. вещественно. Основание - плотность заряда даётся выражением $$\frac{i\hbar e}{2mc^2}\left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\right),$$
следовательно, чтобы оно было всегда нулём, требуется $\psi=\psi^*.$ Но ведь и (не положительно определённая) плотность вероятности тогда тоже будет заведомо нулём, как тогда сохранить смысл $\psi$ в качестве ВФ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение24.03.2018, 15:20 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Ascold в сообщении #1299414 писал(а):
Но ведь и (не положительно определённая) плотность вероятности тогда тоже будет заведомо нулём, как тогда сохранить смысл $\psi$ в качестве ВФ?



А это вообще не волновая функция! Увы, исторически сложилось так, что эту $\psi$ долго пытались интерпретировать как волновую функцию в смысле квантовой механики. Но, как оказалось, такая интерпретация --- полная чепуха. Это полевая функция. А "волновая функция" (квантовая амплитуда) в теории поля --- это функционал (амплитуда вероятности заданной полевой конфигурации).

-- Сб мар 24, 2018 19:21:42 --

Ascold в сообщении #1299414 писал(а):
если смотреть на уравнение Клейна-Гордона не как на квантовополевое уравнение, а на уравнение для релятивистской волновой функции



Не надо так смотреть. Это чепуха. Чего бы об этом ни писали в книжках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение24.03.2018, 17:04 


28/08/13
521
Alex-Yu в сообщении #1299429 писал(а):
А это вообще не волновая функция! Увы, исторически сложилось так, что эту $\psi$ долго пытались интерпретировать как волновую функцию в смысле квантовой механики. Но, как оказалось, такая интерпретация --- полная чепуха. Это полевая функция. А "волновая функция" (квантовая амплитуда) в теории поля --- это функционал (амплитуда вероятности заданной полевой конфигурации).

Что это не в.ф. я в курсе. Насчёт функционала, кстати, - Вы имели ввиду, что в КТП амплитуда перехода скалярного поля из $x$ В $y$- это величина, пропорциональная $ \langle 0|T\{\psi(y)\exp(-\frac{i}{\hbar}\int H_I(t))dt\psi(x)\}|0\rangle$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение24.03.2018, 22:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Ascold в сообщении #1299457 писал(а):
Вы имели ввиду, что в КТП амплитуда перехода скалярного поля из $x$ В $y$- это величина, пропорциональная $ \langle 0|T\{\psi(y)\exp(-\frac{i}{\hbar}\int H_I(t))dt\psi(x)\}|0\rangle$ ?



Нет. То, что В написали (2-х частичная ФГ), к амплитуде состояния поля вообще не имеет отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение25.03.2018, 10:14 


28/08/13
521
Alex-Yu в сообщении #1299534 писал(а):
Нет. То, что В написали (2-х частичная ФГ), к амплитуде состояния поля вообще не имеет отношения.

А где есть про амплитуду состояния поля - например, на какой странице Пескина-Шредера, Бьёркена и Дрелла или Mandl and Shaw? А то я так-то изучаю КТП, просто вынужденно прервался, но при этом чувствую, что КТП - это сплошной расчёт операторами, что такое квантовое поле по сути, я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение25.03.2018, 10:26 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Ascold в сообщении #1299601 писал(а):
А где есть про амплитуду состояния поля



Ой нет, искать я не буду. Но по сути поясню (в самом примитивном виде). Перейдем к полю на решетке да еще в конечном объеме. Тогда поле у нас характеризуется его N значениями в N точках (узлах решетки). Т.е. система имеет N степеней свободы. Поля в каждой из точек решетки это и есть обобщенные координаты данной системы. При квантовании системы с N степенями свободы (c N координатами) волновая функция есть функция всех этих N координат. Т.е. амплитуда состояния (волновая функция) такого "решеточного" поля это функция от значений поля в узлах решетки. При переходе к непрерывному полю (т.е. $N \to \infty$) такая функция очевидно превращается в функционал. Т.о. роль координат поля играют значения поля в разных пространственных точках. А пространственные координаты --- это ничто иное как континуальный индекс, различающий разные координаты поля. Но НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ пространственные координаты не являются координатами поля, от которых должна зависеть волновая функция (квантовая амплитуда состояния)!!!

Работать с таким объектом довольно трудно (если вообще возможно), поэтому в КТП используют всевозможные трюки, чтобы избежать явной работы с таким функционалом. Но понимать, что неявно он присутствует (в частности $|0\rangle$ --- специальный случай такого функционала) надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение27.03.2018, 19:30 


28/08/13
521
Alex-Yu в сообщении #1299603 писал(а):
волновая функция есть функция всех этих N координат. Т.е. амплитуда состояния (волновая функция) такого "решеточного" поля это функция от значений поля в узлах решетки.

Нет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?
Как эта волновая функция соотносится с волновой функцией частицы в обычной КМ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение27.03.2018, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1300065 писал(а):
ет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?
Возьмите гамильтониан $H=\sum\limits_{k=1}^{N}\frac{1}{2}\left(p_k^2+\omega^2(q_k-q_{k+1})^2+\omega_0^2q_k^2\right),$ сосчитайте для него волновую функцию основного состояния и устремите $N\to\infty.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные
Сообщение28.03.2018, 10:42 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Ascold в сообщении #1300065 писал(а):
Нет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?



Для поля без взаимодействия можно. Разложите поле (поместив его в конечный ящик с подходящими гранусловиями) в ряд Фурье. Получите бесконечный набор осцилляторов. Соответственно волновая функция поля будет бесконечным произведением волновых функций осцилляторов (для которых есть формулы).

-- Ср мар 28, 2018 14:47:11 --

Ascold в сообщении #1300065 писал(а):
Как эта волновая функция соотносится с волновой функцией частицы в обычной КМ?



Это довольно длинно. Во-первых из пространства состояний поля надо выделить подпространство одночастичных состояний. Во-вторых перейти к нерелятивистскому пределу. В-третьих разложить одночастичное состояние по состояниям локализованным в точке (тут и важен нерелятивистский предел, в релятивистском случае таких таких одночастичных состояний нет). В общем в итоге ничего похожего на уравнение Клейна-Гордона не останется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group