Уравнение Клейна-Гордона, локальность, производные

[Ascold]

Никогда этого не понимал - почему, если при попытке построения релятивистского квантового уравнения взять корень из гамильтониана (Бьёркен-Дрелл I формулы (1.8)-(1.9)), то возникнет, как Б. и Д. пишут чуть ниже, нелокальность.
Видно, что получается что-то странное: разлагая корень в ряд по производным, получим уравнение бесконечного порядка по координатам. Но почему это именно "нелокальность"?

[Red_Herring]

Ascold в сообщении #1299160 писал(а):

Видно, что получается что-то странное: разлагая корень в ряд по производным, получим уравнение бесконечного порядка по координатам. Но почему это именно "нелокальность"?

Так разлагать нельзя. Но нелокальность в том, что только дифференциальные операторы локальны (хотя бы потому, что только $\delta$ функция и ее производные сосредоточены в одной точке)

[Ascold]

Red_Herring в сообщении #1299174 писал(а):

Так разлагать нельзя. Но нелокальность в том, что только дифференциальные операторы локальны (хотя бы потому, что только $\delta$ функция и ее производные сосредоточены в одной точке)

Почему нельзя?
Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?
Что нужно знать из математики, чтобы осмыслить Ваше утверждение о дельта-функции и её производных?
Локальность в квантовой физике - это синоним слов "причинность, обуславливаемая близкодействием" или нет?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1299219 писал(а):

Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?

Проиллюстрирую простым примером. Пусть

$$ u(x)=\int K(y) v(x-y) dy $$

Явно нелокальная связь функций (полей) $v$ и $u$. Разложим $v$ в ряд вблизи $y=0$:

$$ v(x-y) = \sum \frac{1}{n!}v^{(n)}(x)(-y)^n $$

Здесь $v^{(n)}$ -- n-ная производная (в т.ч. нулевая -- сама функция). Тогда

$$ u(x) =\sum v^{(n)}(x) C_n $$

где коэффициенты $C_n$ понятно как получаются -- интегрированием. Итого: как бы локальная связь, но с бесконечным числом производных, эквивалентна нелокальной связи. Естественно, я опустил вопросы, связанные со сходимостью.

-- Пт мар 23, 2018 15:30:03 --

Ascold в сообщении #1299160 писал(а):

получим уравнение бесконечного порядка по координатам.

Кстати. В сторону, но близко. В КТП вообще невозможны лагранжианы, содержащие производные выше первой. А почему знаете? Довольно просто. Если есть высшие производные по координатам, то в силу релятивизма должны быть и высшие производные по времени. А теория с высшими производными по времени не допускает канонического формализма. А тогда ее и квантовать нельзя, канонический формализм --- существенная часть квантовой теории. И вообще, даже не классическом уровне там появятся возбуждения поля экспоненциально затухающие и экспоненциально растущие во времени (вместо колебаний, т.е. волн) --- физически нечто бессмысленное.

В принципе бывает нерелятивисткая КТП (ну, это ---- конденсированная среда). Вот там могут быть высшие производные, но только пространственные, не временные.

[Red_Herring]

Ascold в сообщении #1299219 писал(а):

Почему нельзя?
Что тогда имеют ввиду Бьёркен и Дрелл под фразой, идущей ниже формулы (1.19) "если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно теория нелокальна"?

Посмотрим на ряд Тейлора

$$ (p^2+1)^{1/2}=\sum_{n=0}^\infty a_n p^{2n} $$

Коэффициенты найти легко, но даже и без этого из того, что особенности в $\pm i$ следует, что они порядка $1$ (ну, м.б. чуть похуже или получше). Поэтому этот ряд примененный к функции $\phi(x)$ будет сходится только на функциях, аналитических с радиусом сходимости $1$. А для таких функций понятие носителя отсутствует: если она равна $0$ на маленьком интервальчике, то она равна $0$ всюду.

Что имеют в виду ? Не знаю, но не вполне правы. Почему? Рассмотрим

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}(ip)^n. \tag{*} $$

Он содержит все производные, но он сходится на функциях, производные которых растут как $(2n)!$ (или грубо $(n!)^2$). И такие функции не обязаны быть аналитическими, они принадлежат классу Жевре с показателем $2$, и для них понятие носителя имеет смысл: есть такие функции, отличные от $0$ на сколь угодно малом отрезке, и равные $0$ вне его.

А вот

$$ e^{ip}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n)!}(ip)^n $$

является оператором сдвига, и потому нелокален.

Впрочем, можно показать, что оператор конечного порядка $m$ (т.е. такой, что $\|Ku\|\le C\sum _{\alpha: |\alpha|\le m} \|\nabla^\alpha u\|$) либо нелокален, либо дифференциальный порядка $m$).

Цитата:

Что нужно знать из математики, чтобы осмыслить Ваше утверждение о дельта-функции и её производных?
Локальность в квантовой физике - это синоним слов "причинность, обуславливаемая близкодействием" или нет?

Элементы теории обобщенных функций.

Локальный оператор (в математике): если $u=0$ на множестве $\Omega$, то и $Ku=0$ на множестве $\Omega$. Если говорить об операторах конечного порядка, то такими будут только обычные дифференциальные операторы. Для операторов бесконечного порядка возможны примеры типа (*) (считайте их дифференциальными бесконечного порядка),.

[Ascold]

Ещё спрошу здесь же - если смотреть на уравнение Клейна-Гордона не как на квантовополевое уравнение, а на уравнение для релятивистской волновой функции, то в книгах встречаются странные вещи. К примеру, Greiner, Relativistic quantum mechanics пишет, что если частица нейтральна, то решение УКГ д.б. вещественно. Основание - плотность заряда даётся выражением

$$\frac{i\hbar e}{2mc^2}\left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\right),$$

следовательно, чтобы оно было всегда нулём, требуется $\psi=\psi^*.$ Но ведь и (не положительно определённая) плотность вероятности тогда тоже будет заведомо нулём, как тогда сохранить смысл $\psi$ в качестве ВФ?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1299414 писал(а):

Но ведь и (не положительно определённая) плотность вероятности тогда тоже будет заведомо нулём, как тогда сохранить смысл $\psi$ в качестве ВФ?

А это вообще не волновая функция! Увы, исторически сложилось так, что эту $\psi$ долго пытались интерпретировать как волновую функцию в смысле квантовой механики. Но, как оказалось, такая интерпретация --- полная чепуха. Это полевая функция. А "волновая функция" (квантовая амплитуда) в теории поля --- это функционал (амплитуда вероятности заданной полевой конфигурации).

-- Сб мар 24, 2018 19:21:42 --

Ascold в сообщении #1299414 писал(а):

если смотреть на уравнение Клейна-Гордона не как на квантовополевое уравнение, а на уравнение для релятивистской волновой функции

Не надо так смотреть. Это чепуха. Чего бы об этом ни писали в книжках.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1299429 писал(а):

А это вообще не волновая функция! Увы, исторически сложилось так, что эту $\psi$ долго пытались интерпретировать как волновую функцию в смысле квантовой механики. Но, как оказалось, такая интерпретация --- полная чепуха. Это полевая функция. А "волновая функция" (квантовая амплитуда) в теории поля --- это функционал (амплитуда вероятности заданной полевой конфигурации).

Что это не в.ф. я в курсе. Насчёт функционала, кстати, - Вы имели ввиду, что в КТП амплитуда перехода скалярного поля из $x$ В $y$- это величина, пропорциональная $ \langle 0|T\{\psi(y)\exp(-\frac{i}{\hbar}\int H_I(t))dt\psi(x)\}|0\rangle$ ?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1299457 писал(а):

Вы имели ввиду, что в КТП амплитуда перехода скалярного поля из $x$ В $y$- это величина, пропорциональная $ \langle 0|T\{\psi(y)\exp(-\frac{i}{\hbar}\int H_I(t))dt\psi(x)\}|0\rangle$ ?

Нет. То, что В написали (2-х частичная ФГ), к амплитуде состояния поля вообще не имеет отношения.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1299534 писал(а):

Нет. То, что В написали (2-х частичная ФГ), к амплитуде состояния поля вообще не имеет отношения.

А где есть про амплитуду состояния поля - например, на какой странице Пескина-Шредера, Бьёркена и Дрелла или Mandl and Shaw? А то я так-то изучаю КТП, просто вынужденно прервался, но при этом чувствую, что КТП - это сплошной расчёт операторами, что такое квантовое поле по сути, я не понимаю.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1299601 писал(а):

А где есть про амплитуду состояния поля

Ой нет, искать я не буду. Но по сути поясню (в самом примитивном виде). Перейдем к полю на решетке да еще в конечном объеме. Тогда поле у нас характеризуется его N значениями в N точках (узлах решетки). Т.е. система имеет N степеней свободы. Поля в каждой из точек решетки это и есть обобщенные координаты данной системы. При квантовании системы с N степенями свободы (c N координатами) волновая функция есть функция всех этих N координат. Т.е. амплитуда состояния (волновая функция) такого "решеточного" поля это функция от значений поля в узлах решетки. При переходе к непрерывному полю (т.е. $N \to \infty$) такая функция очевидно превращается в функционал. Т.о. роль координат поля играют значения поля в разных пространственных точках. А пространственные координаты --- это ничто иное как континуальный индекс, различающий разные координаты поля. Но НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ пространственные координаты не являются координатами поля, от которых должна зависеть волновая функция (квантовая амплитуда состояния)!!!

Работать с таким объектом довольно трудно (если вообще возможно), поэтому в КТП используют всевозможные трюки, чтобы избежать явной работы с таким функционалом. Но понимать, что неявно он присутствует (в частности $|0\rangle$ --- специальный случай такого функционала) надо.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1299603 писал(а):

волновая функция есть функция всех этих N координат. Т.е. амплитуда состояния (волновая функция) такого "решеточного" поля это функция от значений поля в узлах решетки.

Нет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?
Как эта волновая функция соотносится с волновой функцией частицы в обычной КМ?

[amon]

Ascold в сообщении #1300065 писал(а):

ет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?

Возьмите гамильтониан $H=\sum\limits_{k=1}^{N}\frac{1}{2}\left(p_k^2+\omega^2(q_k-q_{k+1})^2+\omega_0^2q_k^2\right),$ сосчитайте для него волновую функцию основного состояния и устремите $N\to\infty.$

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1300065 писал(а):

Нет способа посмотреть где-нибудь, как выглядит такая функция в виде формулы, хотя бы на простом примере?

Для поля без взаимодействия можно. Разложите поле (поместив его в конечный ящик с подходящими гранусловиями) в ряд Фурье. Получите бесконечный набор осцилляторов. Соответственно волновая функция поля будет бесконечным произведением волновых функций осцилляторов (для которых есть формулы).

-- Ср мар 28, 2018 14:47:11 --

Ascold в сообщении #1300065 писал(а):

Как эта волновая функция соотносится с волновой функцией частицы в обычной КМ?

Это довольно длинно. Во-первых из пространства состояний поля надо выделить подпространство одночастичных состояний. Во-вторых перейти к нерелятивистскому пределу. В-третьих разложить одночастичное состояние по состояниям локализованным в точке (тут и важен нерелятивистский предел, в релятивистском случае таких таких одночастичных состояний нет). В общем в итоге ничего похожего на уравнение Клейна-Гордона не останется.