Рассеяние в сферически симметричном поле

[Ascold]

amon в сообщении #1299129 писал(а):

Интеграл по $x$ потеряли.

точно. Но тогда получается

$$\tilde{U}(p)=2\pi\lim_{r\to\infty}\frac{2\left(1-cos(pr)\right)}{p^2}$$

- опять непонятно что.
Попробую сделать по рецепту

Cos(x-pi/2) в сообщении #1299077 писал(а):

сразу "двух зайцев поймать", вычислив сначала фурье-образ "экранированного кулоновского потенциала" $\frac{1}{r}e^{-\kappa r},$ где $\kappa$ - положительная константа

Действительно, получилось $\tilde{U}(p)=4\pi/(p^2+\kappa^2).$
Интересно, кстати - почему, если сразу взять $\kappa=0,$ то получается расходимость - оттого, что комплексная экспонента не является квадратично-интегрируемой на всём интервале?

[amon]

Ascold в сообщении #1299147 писал(а):

тогда получается

$$\tilde{U}(p)=2\pi\lim_{r\to\infty}\frac{2\left(1-\cos(pr)\right)}{p^2}$$

Тут надо либо по рецепту Red_Herring'a включать аппарат обобщенных функций, либо запрягать нелицензированную кривую козу, и вводить регуляризацию. Можно как у Cos(x-pi/2), а можно $p\to p+i\varepsilon.$

[Red_Herring]

Нет, обобщенные функции тут как тут в любом случае, потому что никак иначе не объяснить, в каком смысле понимается преобразование Фурье. А если мы согласимся, что оно понимается в рамках теории обобщенных функций из Шварцевского $\mathscr{S}'$, то коза вполне лицензионная, т.к. $r^{-1}e^{-\kappa r}$ сходится при $\kappa \to +0$ к $r^{-1}$ в этом пространстве.

[Red_Herring]

Пусть п.Ф.

$$\hat{u}(\mathbf{p})):= (2\pi)^{-n} \int e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}} u(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r}$$

и обратное

$$u(\mathbf{r})):=\int e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}} \hat{u}(\mathbf{p}) \,d\mathbf{p}$$

(договорились о множителях).

Тогда для $u(\mathbf{r}) = |\mathbf{r}|^{-1}$ имеет место

$$ \Delta u(\mathbf{r}) = -4\pi \delta(\mathbf{r}) . $$

Переходя к п.Ф.

$$ -|\mathbf{p} |^2 \hat{u}(\mathbf{p}) = - 4\pi (2\pi)^{-3}. $$

Откуда находим $\hat{u}(\mathbf{p})=\frac{1}{2\pi^2}|\mathbf{p}|^{-2}$. Не так быстро, однако! Возникают еще $A\delta (\mathbf{p}) + B\partial_x \delta (\mathbf{p}) + C\partial_y \delta (\mathbf{p}) + D\partial_z \delta (\mathbf{p})$, с произвольными постоянными коэффициентами, но у них неправильный порядок положительной однородности $-3$ и $-4$

Аналогично,

$$(-\Delta +\kappa^2)\Bigl(\frac{1}{4\pi}r^{-1}e^{-\kappa r}\Bigr)=\delta (\mathbf{r})$$

и потому тем же методом ее п.Ф.

$$\frac{1}{2\pi^2}(|\mathbf{p}|^2+1)^{-1}. $$