2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Рассеяние в сферически симметричном поле
Сообщение22.03.2018, 23:04 


28/08/13
521
amon в сообщении #1299129 писал(а):
Интеграл по $x$ потеряли.

точно. Но тогда получается $$\tilde{U}(p)=2\pi\lim_{r\to\infty}\frac{2\left(1-cos(pr)\right)}{p^2}$$ - опять непонятно что.
Попробую сделать по рецепту
Cos(x-pi/2) в сообщении #1299077 писал(а):
сразу "двух зайцев поймать", вычислив сначала фурье-образ "экранированного кулоновского потенциала" $\frac{1}{r}e^{-\kappa r},$ где $\kappa$ - положительная константа

Действительно, получилось $\tilde{U}(p)=4\pi/(p^2+\kappa^2).$
Интересно, кстати - почему, если сразу взять $\kappa=0,$ то получается расходимость - оттого, что комплексная экспонента не является квадратично-интегрируемой на всём интервале?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассеяние в сферически симметричном поле
Сообщение22.03.2018, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1299147 писал(а):
тогда получается $$\tilde{U}(p)=2\pi\lim_{r\to\infty}\frac{2\left(1-\cos(pr)\right)}{p^2}$$
Тут надо либо по рецепту Red_Herring'a включать аппарат обобщенных функций, либо запрягать нелицензированную кривую козу, и вводить регуляризацию. Можно как у Cos(x-pi/2), а можно $p\to p+i\varepsilon.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассеяние в сферически симметричном поле
Сообщение23.03.2018, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Нет, обобщенные функции тут как тут в любом случае, потому что никак иначе не объяснить, в каком смысле понимается преобразование Фурье. А если мы согласимся, что оно понимается в рамках теории обобщенных функций из Шварцевского $\mathscr{S}'$, то коза вполне лицензионная, т.к. $r^{-1}e^{-\kappa r}$ сходится при $\kappa \to +0$ к $r^{-1}$ в этом пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рассеяние в сферически симметричном поле
Сообщение23.03.2018, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Пусть п.Ф. $$\hat{u}(\mathbf{p})):= (2\pi)^{-n} \int e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}} u(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r}$$ и обратное
$$u(\mathbf{r})):=\int e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}} \hat{u}(\mathbf{p}) \,d\mathbf{p}$$ (договорились о множителях).

Тогда для $u(\mathbf{r}) = |\mathbf{r}|^{-1}$ имеет место
$$
\Delta u(\mathbf{r})  = -4\pi \delta(\mathbf{r}) .
$$
Переходя к п.Ф.
$$
-|\mathbf{p} |^2 \hat{u}(\mathbf{p}) = - 4\pi (2\pi)^{-3}.
$$
Откуда находим $\hat{u}(\mathbf{p})=\frac{1}{2\pi^2}|\mathbf{p}|^{-2}$. Не так быстро, однако! Возникают еще $A\delta (\mathbf{p}) + B\partial_x \delta (\mathbf{p}) + C\partial_y \delta (\mathbf{p}) + D\partial_z \delta (\mathbf{p})$, с произвольными постоянными коэффициентами, но у них неправильный порядок положительной однородности $-3$ и $-4$

Аналогично, $$(-\Delta +\kappa^2)\Bigl(\frac{1}{4\pi}r^{-1}e^{-\kappa r}\Bigr)=\delta (\mathbf{r})$$ и потому тем же методом ее п.Ф.
$$\frac{1}{2\pi^2}(|\mathbf{p}|^2+1)^{-1}.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group