Меры

[kerz-3-06]

$$g(x)=\begin{cases} \frac {x} {1+x},&\ x>0 \\ \arctg {x} -1 ,&\ x \le 0 \\ \end{cases}$$

Надо определить сходится ли посл-ть функций

$$f_n(x) = \sin {\frac {x} {n}} $$

по

$$\mu_g$$

(Мера Стилтьеса) ?

При

$$n \to \infty$$

$f_n \to 0$, поэтому нам надо просто посмотреть стремится ли к нулю для любого положительного $\sigma $ мера множества, где $|\sin {\frac {x} {n}}| > \sigma$. Такое мн-во у нас получается, как объединение бесконечного кол-ва отрезков, каждый из которых выражается длинно через $\arcsin$, причем мера каждого такого отрезка стемится к 0 при

$$n \to \infty$$

. Но вот вопрос, а как выяснить стремится ли к нулю сумма мер на каждом таком отрезке ?!

[Brukvalub]

Можно использовать тот факт, что длина интервала, на котором $|\sin {\frac {x} {n}}| > \sigma$ на периоде легко оценивается сверху и снизу, элементарно найти и асимптотику поведения этой длины при

$$n \to \infty$$

. Кроме того, задающая меру функция всюду, кроме 0, непрерывно дифференцируема, что облегчает работу с мерой

$$\mu_g$$

.

[kerz-3-06]

ну оценим мы длину, поймем что она увеличивается при

$$n \to \infty$$

, но тем самым мы опять же можем лишь понять, что мера каждого такого интервала 0.

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

ну оценим мы длину, поймем что она увеличивается при

$$n \to \infty$$

, но тем самым мы опять же можем лишь понять, что мера каждого такого интервала 0.

Вам не кажется, что два выделенных мной утверждения противоречат друг другу?

[kerz-3-06]

Но мы же смотрим не меру Лебега, так что из того, что длина интервала увеличивается не следует, что увеличивается наша мера. Разве не так?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Но мы же смотрим не меру Лебега, так что из того, что длина интервала увеличивается не следует, что увеличивается наша мера. Разве не так?!

Я и говорю - с какой стати меры интервалов положительной длиы (в обычном смысле) приобретают нулевую указанную Вами меру Стилтьеса? Напишите свои выкладки - вы меня сильно заинтриговали!

[kerz-3-06]

Найдем эти интервалы в явном виде:
1. $ \sin {\frac {x} {n}} > \sigma $ :
$(n\arcsin\sigma +2\pi kn, \pin - n\arcsin\sigma+2\pi kn)$ k- целое.
2. $\sin {\frac {x} {n}} < \sigma $ :
$(n\arcsin\sigma+\pi n+2\pi kn, 2\pi n - n\arcsin\sigma+2\pi kn)$ k- целое.

Рассмотрим, к примеру, первый случай для положительных k. Длина таких интервалов постоянна, а мера каждого такого интервала стремится к нулю при

$$n \to \infty$$

, так как $g(x)$ стремится на бесконечности к константе, а сам период функции $ \sin {\frac {x} {n}}$ увеличивается при

$$n \to \infty$$

Но нам же надо оценить их сумму?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Но нам же надо оценить их сумму?!

Вот и напишите ряд и исследуйте его на сходимость и на величину суммы.

[kerz-3-06]

Ряд получается не из приятных, но сходящийся. хотя как найти его сумму я не особо представляю. А уж тем более в случае отрицательных $x$, там трудновато даже сходимость точно определить. Нет ли другого способа решения этой задачи?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Ряд получается не из приятных, но сходящийся. хотя как найти его сумму я не особо представляю.

А я и не предлагаю найти сумму ряда - я предлагаю ее лишь оценить.

[AD]

Мегапредложение. Очевидно, что последовательность $f_n$ сходится к нулю всюду. И, в частности, почти всюду по мере $\mu_g$. У нас $\mu_g(\mathbb{R})<\infty$, следовательно, из сходимости почти всюду следует сходимость по мере

[Brukvalub]

AD писал(а):

следовательно, из сходимости почти всюду следует сходимость по мере

Отличная идея. Я же исходил из предположения, что требуется ответить на вопрос, применяя только определение (такой взгляд на задачу у меня появился после слов:

kerz-3-06 писал(а):

нам надо просто посмотреть стремится ли к нулю для любого положительного $\sigma $ мера множества, где $|\sin {\frac {x} {n}}| > \sigma$

).

[AD]

Вот так вот ... одним движением доказали, что сумма такого ряда из арксинусов с арктангенсами стремится к нулю ... Так рождаются олимпиадные задачки: выписать в условии такой вот ряд, и попросить доказать, что его сумма стремится к нулю для всех $\sigma\in(0,1]$. Решение - случайно заметить, что этот ряд представляется в виде меры $\mu_g\{|f_n|>\sigma\}$, и ... см.выше

[kerz-3-06]

AD писал(а):

Очевидно, что последовательность $f_n$ сходится к нулю всюду. И, в частности, почти всюду по мере $\mu_g$.

Этот переход от сходимости всюду к сходимости почти всюду по мере можно обосновать?! )

[AD]

kerz-3-06 писал(а):

AD писал(а):

Очевидно, что последовательность $f_n$ сходится к нулю всюду. И, в частности, почти всюду по мере $\mu_g$.

Этот переход от сходимости всюду к сходимости почти всюду по мере можно обосновать?! )

Элементарно, kerz-3-06. Последовательность $f_n$ сходится к нулю всюду. Следовательно, множество точек $x$, где последовательность $f_n(x)$ не сходится к нулю, пусто. И, следовательно, любая его мера (в частности, мера $\mu_g$) равна нулю Но это и значит, что $f_n$ сходится почти всюду в смысле любой меры.