Меры

[kerz-3-06]

Да, спасибо. А второй переход имеет место, видимо, по теореме Лебега. Спасибо

Добавлено спустя 2 часа 13 минут 23 секунды:

Есть еще одна задача по этой же теме)
Дана таже функция

$$g(x)=\begin{cases} \frac {x} {1+x},&\ x>0 \\ \arctg {x} -1 ,&\ x \le 0 \\ \end{cases}$$

и дано мн-во $E\subset[-2,3]$ и сказано, что

$$\mu_gE=\frac 3 2$$

. Требуется найти $max \lambda_1E$(мера Лебега).
Пытался решать используя то, что для увеличения меры Лебега, необходимо брать те участки, где $g'(x)$ поменьше, но ни к чему дельному это не привело.

[AD]

Ну, в-общем, из ваших же соображений почти очевидно, что множество надо брать из двух промежутков, начинающихся в концах отрезка [-2,3] и тянущихся к середине.

[kerz-3-06]

Да, к такому выводу я приходил. Только вот как выбрать вторые концы этих промежутков?

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Да, к такому выводу я приходил. Только вот как выбрать вторые концы этих промежутков?

Сначала сделать их (концы) переменными, а затем решить задачу на экстремум.

[kerz-3-06]

Я правильно понял, что мы хотим найти экстремумы функции $f(a,b)=5+a-b$ (отрезки у нас $[-2,a]$ и $[b,3]$) при условии $\frac {3}{2}=\arctg a+\arctg2-\frac {b}{b+1}$?! Это, на мой взгляд, проблемно решить, я выражал $a$ через $b$ и наоборот, это мало к чему приводит. Метод Лагранжа тут так же не особо помогает.

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Я правильно понял, что мы хотим найти экстремумы функции $f(a,b)=5+a-b$ (отрезки у нас $[-2,a]$ и $[b,3]$) при условии $\frac {3}{2}=\arctg a+\arctg2-\frac {b}{b+1}$?!

Да.

[kerz-3-06]

Так, как раз проблемно решить эту задачу теми методами, о которых я написал выше. Может быть есть еще какой-нить способ?!

Добавлено спустя 1 час 49 минут 55 секунд:

После выражения $b$ через $a$ и подстановки, нахождние нулей производной сводится к решению уравнения $1+a^2=(\frac {7}{4}-\arctg a -\arctg 2)^2$

После выражения $a$ через $b$ и подстановки, нахождние нулей производной сводится к решению уравнения $\frac {1}{(b+1)^2}=\cos^2(\frac {3}{4}+\frac {b}{b+1}-\arctg 2)$

Метод Лагранжа тоже ничего не дает.

Решение данных уравнений вызывает у меня затруднение. Может быть я что-то упустил или все-таки есть иной способ решения?!

[kerz-3-06]

Тем более, если мы будем искать наше множество как обьединение отрезков $[-2,a]$ и $[b,3]$, то при подсчете $\mu_g$ "вылезет" $\arctg2$ и $\frac {3}{2}$ врят ли сможет получится?!