2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторные подпространства
Сообщение18.03.2018, 14:06 


07/08/16
49
Для начала несколько определений из моей литературы :
Назовём множество $U \in V$, где $V$ - векторное пространство над $F$, векторным подпространством, если на множестве $U$ выполнены аксиомы векторного пространства относительно умножения элементов векторного пространства на скаляры и сложения этих элементов. Чтобы проверить, является ли $U \in V $ векторным подпространством нужно выяснить, выполнены ли 3 пункта :
1.Принадлежит ли нулевой элемент $U$.
2.Замкнуто ли $U$ относительно сложения элементов.
3.Замкнуто ли относительно умножения элементов на скаляр.

Само задание :
Проверить,что в $\mathbb{R}^{2}$ векторными подпространствами являются $\left\lbrace0\right\rbrace$,$\mathbb{R}^{2}$ и любая прямая проходящая через центр.
$\mathbb{R}^{2}$ - всё просто.$\mathbb{R}^{2}$ это $\left\lbrace(x_{1}, x_{2}) : x_{1},x_{2} \in \mathbb{R}\right\rbrace$. Мы уже определяли там сложение, умножение на скаляр и равенство. Нулевой элемент там есть, сложение замкнуто просто из того факта, что сложив два числа из $\mathbb{R}$ вылезти из $\mathbb{R}$ мы не сможем, также как и при перемножении на скаляр.
С $\left\lbrace0\right\rbrace$ тоже всё просто.
Любую прямую, проходящую через центр мы можем задать вот так : $\left\lbrace(x, y) : x, y \in \mathbb{R}, ax -
 y = 0 \right\rbrace$.
Нулевой элемент там есть.
Сложим 2 элемента : (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}). То есть мы получили элемент
(x_{1} + x_{2} = x_{3}, y_{1} + y_{2} = y_{3} : ax_{3}  - y_{3} = 0). Ясно что он также лежит на прямой, я могу проверить это чисто алгебраически, подставив в уравнение соответствующие выражения для $x_{3}, y_{3}$ и получив тождество.
Тоже и по умножению, получим элемент, который всё также будет лежать на прямой.>

Корректно ли моё доказательство? Всё ли верно? (Я его сократил, опустив вроде как очевидные вещи).

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.03.2018, 14:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15074
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.03.2018, 15:41 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15074
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение18.03.2018, 15:56 
Заслуженный участник


16/02/13
3264
Владивосток
А что заставляет вас сомневаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение18.03.2018, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2257
Москва
Если "проверить, что подпространствами являются $\ldots$" читать как "подпространства - это $\ldots$ и только они", то нужно доказать еще что других нет. (нужно ли так читать - вопрос сложный)

С доказательством всё правильно.

(Оффтоп)

Sdy в сообщении #1298085 писал(а):
$U \in V$
Всё-таки $U \subseteq V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение18.03.2018, 16:47 
Заслуженный участник


18/01/15
694
Отметим для порядку, что там есть еще одна прямая, проходящая через центр, а именно $x=0$, т.е. $\{(0,y)\mid y\in{\mathbb R}\}$. Также возможно (но не наверняка), как указал mihaild, что в задании требовалось также доказать, что других подпространств, кроме описанных, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение18.03.2018, 17:02 


07/08/16
49
mihaild в сообщении #1298116 писал(а):
Если "проверить, что подпространствами являются $\ldots$" читать как "подпространства - это $\ldots$ и только они", то нужно доказать еще что других нет. (нужно ли так читать - вопрос сложный)

С доказательством всё правильно.

(Оффтоп)

Sdy в сообщении #1298085 писал(а):
$U \in V$
Всё-таки $U \subseteq V$.

Нет, в книге пока пишут, что докажите, что являются, а про "только они", говорят, что пока не обладаем нужным инструментарием.


iifat в сообщении #1298110 писал(а):
А что заставляет вас сомневаться?

Я изучаю алгебру с начала постепенно и если я не уверен прям таки на 99%, то пытаюсь спросить здесь, да бы не тащить за собой неправильные мысли.

Тем более, что обычно комментарии участников выявляют у меня пробелы в понимании.
Спасибо за замечания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение22.03.2018, 17:53 


07/08/16
49
Решил задать следующий вопрос в этой же теме, так как тематика (как и параграф учебника) остается тот же.
Дошёл до суммы подпространств данного векторного пространства.
Сумму векторных подпространств определили вот так :
"Пусть $V$ - векторное пространство над $F$. Тогда, если $ U_{1}, ..., U_{n}$ - векторные подпространства $V$, то их сумму мы введём как
$U_{1}+ ... + U_{n} = {u_{1} + ... + u_{2} : u_{i} \in U_{i} \forall i = 1..n}$."
То есть я понимаю сумму подпространств как множество, состоящее из всевозможных сумм элементов, входящих в слагаемые данной суммы.
Далее меня попросили доказать,что если множества - подпространства векторного пространства, то и их сумма - векторное подпространство. Вроде бы затруднений не было.

А вот дальше мне говорят "Suppose $U = \left\lbrace (x, 0, 0) \in F^{3} : x \in F\right\rbrace ,W = \left\lbrace(0, y, 0) \in F^{3} : y \in F\right\rbrace \to $
$U+W = \left\lbrace(x, y, 0) : x,y \in F\right\rbrace$
as you should verify". (Литература на английском, поэтому процитировал почти дословно).
И я не понимаю,что от меня хотят. Разве это не очевидно? (Что в таком случае мы получим именно всевозможные суммы.) Тут какой-то подвох? Или есть явный способ строгого доказательства?
Следующее задание меня удивило, но оно основывается на этом задании и я надеюсь сделать его, поняв, что от меня хотят тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение22.03.2018, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16001
Новомосковск
Я думаю, что от Вас хотят, чтобы Вы формально проверили, что так определённое $W$ действительно является суммой $U$ и $V$, то есть, что каждый элемент $W$ является суммой элементов $U$ и $V$, и что сумма любых двух элементов $U$ и $V$ принадлежит $W$. Разумеется, это "очевидно", но нужно всё выписать явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение17.04.2018, 09:50 


07/08/16
49
Someone
Спасибо, следующее задание решилось.
Теперь возник вопрос по следующему утверждению :
"Пусть $U_{1},...,U_{n}$ - векторные подпространства данного векторного пространства $V$. Обозначим векторное подпространство $V$ , содержащее в себе $U_{1},...U_{n}$ как $U'$. Пусть $U = U_{1} + ... + U_{n}$. Доказать, что наименьшее векторное подпространство $V$, содержащее $U'$ это $U$."
<Ясно, что $U \subset U'$ - это следует из замкнутости векторного подпространства относительно суммы элементов - $U'$ обязано содержать все конечные суммы своих элементов, а ими как раз и являются элементы $u_{i} \in U_{i},  \forall i = 1..n$. Значит подпространство, содержащее $U'$ не может быть меньше, чем $U$. Докажем теперь, что и больше ему быть не нужно. Чтобы доказать, что $U' \subset U$ достаточно вспомнить, что $U = U_{1} + ... + U_{n} = \left\lbrace u_{1}+ ... + u_{n}\right\rbrace$ и рассмотреть суммы где все элементы кроме одного будут равны нулю, так мы сможем получить все элементы из $U'$, а значит $U' \subset U$. Следовательно $U$ действительно наименьшее векторное подпространство $V$, содержащее $U'$>
Собственно вопрос, верно ли доказательство? Были проблемы с пониманием минимальности и вроде как разрешились, но хотелось бы удостовериться до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение21.04.2018, 00:47 


07/08/16
49
Хотел бы поднять тему. Я что-то неверно формулирую или же вопросы кажутся слишком тривиальными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение21.04.2018, 01:02 
Заслуженный участник


16/02/13
3264
Владивосток
Sdy в сообщении #1305032 писал(а):
Чтобы доказать, что $U' \subset U$ достаточно вспомнить, что $U = U_{1} + ... + U_{n} = \left\lbrace u_{1}+ ... + u_{n}\right\rbrace$ и рассмотреть суммы где все элементы кроме одного будут равны нулю, так мы сможем получить все элементы из $U'$, а значит $U' \subset U$
Что-то я не понял ни этого места, ни его необходимости. Всякое $U'$ содержит $U$; значит, оное $U$ — минимум; оно является линейным пространством — значит, оно и есть минимальное линейное просранство. Всё, имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение21.04.2018, 09:04 


07/08/16
49
iifat в сообщении #1306029 писал(а):
Что-то я не понял ни этого места, ни его необходимости. Всякое $U'$ содержит $U$; значит, оное $U$ — минимум; оно является линейным пространством — значит, оно и есть минимальное линейное просранство. Всё, имхо.

Ну ведь из того что $U \subset U'$ не следует, что $U' \subset U$ ? Я и доказываю, что множеству, содержащему в себе $U'$ не нужно быть больше, чем $U$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные подпространства
Сообщение21.04.2018, 10:07 
Заслуженный участник


16/02/13
3264
Владивосток
Попробуем взять случай попроще.
Доказать, что 0 — минимальное натуральное число (пускай у нас натуральный ряд с нуля).
1, Докажем, что 0 — натуральное число;
2, Докажем, что любое натуральное число не меньше нуля.
Надо ли нам доказывать, что наименьшее натуральное число не больше нуля? По-моему, нет; доказанного достаточно.
Sdy в сообщении #1306063 писал(а):
из того что $U \subset U'$ не следует, что $U' \subset U$?
Вот тут у вас некая путаница, из-за чего и доказать не получается. В условии задачи $U'$ — одно из кучи (не уверен, что её можно называть множеством) линейных пространств. Как и у меня в п.2 «любое натуральное число». А вот в заключении — «минимальное натуральное число», потому что «любое натуральное число» уж всяко может быть больше нуля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group