Комплексные интегралы

[MChagall]

thething в сообщении #1298131 писал(а):

все оказалось очевидно

Мне пока нет. Переход к полярным я осуществлял.
$\iint\limits_{r\leqslant \rho \leqslant R}^{}(\rho \cos\varphi+i\rho \sin\varphi)\rho d\rho d\varphi$. Так?
Теорема о среднем - эта вот эта: $f(z)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(z+\rho e^{it})dt$?
И как дальше связать?

[thething]

Сделайте замену $z=\rho{e^{i\varphi}}$ и не забудьте расставить новые пределы интегрирования, а то у Вас после замены оставлено неправильно

-- 18.03.2018, 19:50 --

Еще в своей записи Вы потеряли функцию $f$. Теорема о среднем применяется в виде: $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(\rho e^{i\varphi})d\varphi$

[MChagall]

$\int\limits_{r}^{R}(\int\limits_{0}^{2\pi}f(\rho e^{i\varphi})d\varphi)d\frac{\rho ^2}{2}=\pi f(0)(R^2-r^2)$
Попал?

[thething]

Правильно

[MChagall]

За решением других задач забыл, что не сделал здесь задачу 2). Вернулся к ней. Получилось вот что.
Наш путь $\gamma$ можно прогомотопировать к такому, который состоит из окружностей вокруг точек $i$ и $-i$ и оставшейся части, которая либо гомотопна отрезку $\gamma_0=[0, 1]$, либо кривой, соединяющей $0$ и $1$, но огибающей либо $i$ (пусть это $\gamma_1$), либо $-i$ (пусть $\gamma_2$). Вот что для них получилось.
Если остаток $\gamma_0$, то $\frac{\pi}{4}+\pi (ind_i \gamma-ind_{-i}\gamma)$
Если остаток $\gamma_{1, 2}$, то $\frac{-3\pi}{4}+\pi (ind_i \gamma-ind_{-i}\gamma)$.
Может кто-нибудь посмотреть, прав ли я?